Tvinne og vri
Aktivitet
Denne aktiviteten introduserer et triks som kan gjøres med to hoppetau. Trikset ble oppfunnet av matematikeren John Conway.
Se for deg fire personer som står i de fire hjørnene i et kvadrat. La oss gi hjørnene navn etter kompassretningene: NV (nordvest), NØ (nordøst), SØ (sørøst) og SV (sørvest). Til å begynne med holder NØ og NV i hver sin ende av et hoppetau, og SØ og SV holder i hver sin ende av et annet hoppetau.
Personene kan gjøre to ting: tvinne og vri.
Med tvinning bytter personen som står på NØ, plass med personen på SØ, slik at NØ løfter tauet over SØ når de bytter plass.
Med vridning beveger alle seg én plass mot klokka: NØ til SØ, SØ til SV, SV til NV og NV til NØ.
Hver gang kan det som skjer, representeres med et tall. 0 representerer startposisjonen.
Med tvinning legger man til 1: \(x\rightarrow x+1\)
Vridning omgjør ethvert tall til den negative omvendte brøken: \(x\rightarrow -\frac1x\)
Videoene viser et eksempel på hvordan tauene først knytes sammen, og så knytes opp igjen.
Under er det to tabeller. Den første viser stegene som fører til at tauene kveiler seg sammen. Den andre viser stegene som fører til at tauene løses opp igjen.
| Operasjon | Brøk |
| Tvinn | \(1\) |
| Tvinn | \(2\) |
| Vri | \(-\frac12\) |
| Tvinn | \(\frac12\) |
| Tvinn | \(1\frac12\) eller \(\frac32\) |
| Tvinn | \(2\frac12\) eller \(\frac52\) |
| Vri | \(-\frac25\) |
| Tvinn | \(\frac35\) |
| Tvinn | \(1\frac35\) eller \(\frac85\) |
| Tvinn | \(2\frac35\) eller \(\frac{13}5\) |
| Vri | \(-\frac5{13}\) |
Her begynner prosessen med å løse opp tauene igjen:
| Operasjon | Brøk |
| Tvinn | \(\frac8{13}\) |
| Vri | \(-\frac{13}8\) eller \(-1\frac58\) |
| Tvinn | \(-\frac58\) |
| Tvinn | \(\frac38\) |
| Vri | \(-\frac83\) eller \(-2\frac23\) |
| Tvinn | \(-\frac53\) eller \(-1\frac23\) |
| Tvinn | \(-\frac23\) |
| Tvinn | \(\frac13\) |
| Vri | \(-3\) |
| Tvinn | \(-2\) |
| Tvinn | \(-1\) |
| Tvinn | \(0\) |
Når du nå vet hvordan operasjonene fungerer, kan du prøve dette:
Hvis man begynner på null (begge tauene er parallelle), hva ender man opp med etter denne sekvensen: tvinn, tvinn, tvinn, vri, tvinn, tvinn, tvinn, vri, tvinn, tvinn, tvinn, vri?
Kan du finne en sekvens som så tar deg tilbake til null?
Starthjelp
- Tvinning legger til 1: \(x\rightarrow x+1\)
- Vridning omgjør ethvert tall til den negative omvendte brøken: \(x\rightarrow -\frac1x\)
- Hvin man begynner på null, fører tvinn, tvinn, tvinn, vri og tvinn til: \(0,1,2,3,-\frac13,\frac23\)
Kan du fortsette derfra og så komme deg tilbake til null? Det kan være nyttig å skrive stegene inn i en tabell.
Se videoen en gang til. Personene bruker en strategi for å komme tilbake til null. Kan du finne ut når de bestemmer seg for å slutte å tvinne og begynne å vri?
Hvis du vil prøve trikset selv, men ikke har nok folk i nærheten eller mangler hoppetau, kan du gjøre prosessen med tvinning og vridning med et lite stykke papp og to tråder, se bildet under.
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne oppgaven?
Denne aktiviteten tar utgangspunkt i et spennende triks i en kontekst for å øve på å manipulere brøker og regne med neagtive tall. Ved å se videoen eller prøve trikset selv kan elevene bli engasjerte og nysgjerrige, noe som igjen kan lede til utforsking og forklaring av spennende matematikk.
Mulig tilnærming
Vis videoene og forklar de to operasjonene.
- Tvinning legger til 1: \(x\rightarrow x+1\)
- Vridning omgjør ethvert tall til den negative omvendte brøken: \(x\rightarrow -\frac1x\)
Du kan stoppe videoen etter hvert steg og be elevene om å finne ut hva den neste brøken vil bli. Tabellen under viser operasjonen og brøken i hvert steg av videoen.
| Operasjon | Brøk |
| Tvinn | \(1\) |
| Tvinn | \(2\) |
| Vri | \(-\frac12\) |
| Tvinn | \(\frac12\) |
| Tvinn | \(1\frac12\) eller \(\frac32\) |
| Tvinn | \(2\frac12\) eller \(\frac52\) |
| Vri | \(-\frac25\) |
| Tvinn | \(\frac35\) |
| Tvinn | \(1\frac35\) eller \(\frac85\) |
| Tvinn | \(2\frac35\) eller \(\frac{13}5\) |
| Vri | \(-\frac5{13}\) |
Hvis elevene har skjønt de to operasjonene, kan du utfordre dem til å finne en sekvens med tvinning og vridning for å komme fra \(-\frac5{13}\) tilbake til 0. Alternativt kan dere se resten av videoen med det overraskende øyeblikket der tauene vikler seg fra hverandre. Her er sekvensen:
| Operasjon | Brøk |
| Tvinn | \(\frac8{13}\) |
| Vri | \(-\frac{13}8\) eller \(-1\frac58\) |
| Tvinn | \(-\frac58\) |
| Tvinn | \(\frac38\) |
| Vri | \(-\frac83\) eller \(-2\frac23\) |
| Tvinn | \(-\frac53\) eller \(-1\frac23\) |
| Tvinn | \(-\frac23\) |
| Tvinn | \(\frac13\) |
| Vri | \(-3\) |
| Tvinn | \(-2\) |
| Tvinn | \(-1\) |
| Tvinn | \(0\) |
Når elevene forstår de to operasjonene, kan de arbeide med utfordringen i oppgaven. De skal finne brøken for hvert steg i sekvensen og finne sekvensen for å komme tilbake til null: tvinn, tvinn, tvinn, vri, tvinn, tvinn, tvinn, vri, tvinn, tvinn, tvinn, vri.
Til slutt kan elevene utføre sekvensen sin for å vikle sammen og vikle fra hverandre to hoppetau. Alternativt kan de utføre sekvensen individuelt ved å bruke et stykke papp og to tråder, som vist på bildet under.
Gode veiledningsspørsmål
- Hvilken brøk kommer du til hvis du tvinner?
- Hvilken brøk kommer du til hvis du vrir?
- Hvordan kan du bestemme deg for om du vil tvinne eller vri videre?
Mulig utvidelse
Elevene kan gjøre Tvinne og vri igjen etter denne aktiviteten.
Ressursen er utviklet av NRICH