Tvinne og vri
Aktivitet
Denne aktiviteten introduserer eit triks som kan gjerast med to hoppetau. Trikset vart oppfunne av matematikeren John Conway.
Sjå for deg fire personar som står i dei fire hjørna i eit kvadrat. La oss gi hjørna namn etter kompassretningane: NV (nordvest), NA (nordaust), SA (søraust) og SV (sørvest). Til å begynne med held NA og NV i kvar sin ende av eit hoppetau, og SA og SV held i kvar sin ende av eit anna hoppetau.
Personane kan gjere to ting: tvinne og vri.
Med tvinning byter personen som står på NA, plass med personen på SA, slik at NA løftar tauet over SA når dei byter plass.
Med vriding bevegar alle seg éin plass mot klokka: NA til SA, SA til SV, SV til NV og NV til Na.
Kvar gong kan det som skjer, representerast med eit tal. 0 representerer startposisjonen.
Med tvinning legg ein til 1: \(x\rightarrow x+1\)
Vriding gjer kva som helst tal om til den negative omvende brøken: \(x\rightarrow -\frac1x\)
Videoane under viser eit eksempel på korleis ein først knyter taua saman, og så knyter dei opp igjen.
Under er det to tabellar. Den første viser stega som fører til at taua kveilar seg saman. Den andre viser stega som fører til at taua løyser seg opp igjen.
| Operasjon | Brøk |
| Tvinn | \(1\) |
| Tvinn | \(2\) |
| Vri | \(-\frac12\) |
| Tvinn | \(\frac12\) |
| Tvinn | \(1\frac12\) eller \(\frac32\) |
| Tvinn | \(2\frac12\) eller \(\frac52\) |
| Vri | \(-\frac25\) |
| Tvinn | \(\frac35\) |
| Tvinn | \(1\frac35\) eller \(\frac85\) |
| Tvinn | \(2\frac35\) eller \(\frac{13}5\) |
| Vri | \(-\frac5{13}\) |
Her begynner prosessen med å løyse opp taua igjen:
| Operasjon | Brøk |
| Tvinn | \(\frac8{13}\) |
| Vri | \(-\frac{13}8\) eller \(-1\frac58\) |
| Tvinn | \(-\frac58\) |
| Tvinn | \(\frac38\) |
| Vri | \(-\frac83\) eller \(-2\frac23\) |
| Tvinn | \(-\frac53\) eller \(-1\frac23\) |
| Tvinn | \(-\frac23\) |
| Tvinn | \(\frac13\) |
| Vri | \(-3\) |
| Tvinn | \(-2\) |
| Tvinn | \(-1\) |
| Tvinn | \(0\) |
Når du no veit korleis operasjonane fungerer, kan du prøve dette:
Dersom ein begynner på null (taua er parallelle), kva endar ein opp med etter denne sekvensen: tvinn, tvinn, tvinn, vri, tvinn, tvinn, tvinn, vri, tvinn, tvinn, tvinn, vri?
Kan du finne ein sekvens som så tek deg tilbake til null?
Starthjelp
- Tvinning legg til 1: \(x\rightarrow x+1\)
- Vriding gjer kva som helst tal om til den negative omvende brøken: \(x\rightarrow -\frac1x\)
- Dersom ein begynner på null, fører tvinn, tvinn, tvinn, vri og tvinn til: \(0,1,2,3,-\frac13,\frac23\)
Kan du fortsetje derifrå og så kome deg tilbake til null? Det kan vere nyttig å skrive stega inn i ein tabell.
Sjå videoen ein gong til. Personane brukar ein strategi for å kome tilbake til null. Kan du finne ut når dei bestemmer seg for å slutte å tvinne, og begynne å vri?
Dersom du vil prøve trikset sjølv, men ikkje har nok folk i nærleiken eller manglar hoppetau, kan du gjere prosessen med tvinning og vriding med eit lite stykke papp og to trådar, sjå biletet under.
Lærarrettleiing
Kvifor arbeide med denne oppgåva?
Denne aktiviteten tek utgangspunkt i eit spennande triks i ein kontekst for å øve på å manipulere brøkar og rekne med negative tal. Ved å sjå videoen eller å prøve trikset sjølv kan elevane bli engasjerte og nysgjerrige, og det kan leie til utforsking og forklaring av spennande matematikk.
Mogleg tilnærming
Vis videoane og forklar dei to operasjonene.
- Tvinning legg til 1: \(x\rightarrow x+1\)
- Vridning gjer kva som helst tal om til den negative omvende brøken: \(x\rightarrow -\frac1x\)
Du kan stoppe videoen etter kvart steg og be elevane om å finne ut kva den neste brøken vil bli. Tabellen under viser operasjonen og brøken i kvart steg av videoen.
| Operasjon | Brøk |
| Tvinn | \(1\) |
| Tvinn | \(2\) |
| Vri | \(-\frac12\) |
| Tvinn | \(\frac12\) |
| Tvinn | \(1\frac12\) eller \(\frac32\) |
| Tvinn | \(2\frac12\) eller \(\frac52\) |
| Vri | \(-\frac25\) |
| Tvinn | \(\frac35\) |
| Tvinn | \(1\frac35\) eller \(\frac85\) |
| Tvinn | \(2\frac35\) eller \(\frac{13}5\) |
| Vri | \(-\frac5{13}\) |
Dersom elevane har forstått dei to operasjonane, kan du utfordre dei til å finne ein sekvens med tvinning og vriding for å kome frå \(-\frac5{13}\) tilbake til 0. Alternativt kan dei sjå resten av videoen med det overraskande augneblikket når taua viklar seg frå kvarandre. Her er sekvensen:
| Operasjon | Brøk |
| Tvinn | \(\frac8{13}\) |
| Vri | \(-\frac{13}8\) eller \(-1\frac58\) |
| Tvinn | \(-\frac58\) |
| Tvinn | \(\frac38\) |
| Vri | \(-\frac83\) eller \(-2\frac23\) |
| Tvinn | \(-\frac53\) eller \(-1\frac23\) |
| Tvinn | \(-\frac23\) |
| Tvinn | \(\frac13\) |
| Vri | \(-3\) |
| Tvinn | \(-2\) |
| Tvinn | \(-1\) |
| Tvinn | \(0\) |
Når elevane forstår dei to operasjonane, kan dei arbeide med utfordringa i oppgåva. Dei skal finne brøken for kvart steg i sekvensen og finne sekvensen for å kome tilbake til null: tvinn, tvinn, tvinn, vri, tvinn, tvinn, tvinn, vri, tvinn, tvinn, tvinn, vri.
Til slutt kan elevane utføre sekvensen sin for å vikle saman og vikle frå kvarandre to hoppetau. Alternativt kan dei utføre sekvensen individuelt ved å bruke eit stykke papp og to trådar, som vist på biletet under.
Gode rettleiingsspørsmål
- Kva for ein brøk kjem du til dersom du tvinnar?
- Kva for ein brøk kjem du til dersom du vrir?
- Korleis kan du bestemme deg for om du vil tvinne eller vri vidare?
Mogleg utviding
Elevane kan gjere Tvinne og vri igjen etter denne aktiviteten.
Ressursen er utviklet av NRICH