Læreplankoblet

Tvinne og vri igjen

Stikkord: Brøk Negative tall Generalisering

Aktivitet

Denne aktiviteten følger av Tvinne og vri, der tvinning legger til 1, og vridning omgjør ethvert tall til den negative omvendte brøken.

Det ville vært fint å ha en strategi for å løse opp alle sammenknyttede tau. Er det alltid mulig å løse dem opp?

Velg en brøk å begynne med. Kan du finne en sekvens med tvinninger og vridninger som tar deg tilbake til null? Husk dette:

Med tvinning legger man til 1:

x→x+1

Vridning omgjør ethvert tall til den negative omvendte brøken:

x→−1x


Du kan gjerne begynne med en negativ brøk med 2 i nevneren, for eksempel −52 , −172 eller −232.
Kan du finne en måte å komme tilbake til null på?


Prøv å beskrive en effektiv strategi for å løse opp enhver brøk på formen

−n2.


Hvordan hjelper dette deg til å komme tilbake til null fra en positiv brøk med 2 i telleren, for eksempel 27, 215 eller 232?

Nå kan du se på tau som har blitt knyttet sammen og har gitt deg en brøk med 3 i nevneren, for eksempel −53, −172 eller −233.


Prøv å beskrive en effektiv strategi for å løse opp enhver brøk på formen

−n3.


Bruk dette til å foreslå en strategi for å løse opp enhver brøk på formen

3n.


Deretter kan du sjekke tau som er knyttet sammen og gir negative brøker med nevner 4, 5, 6 osv., eller positive brøker med teller 4, 5, 6 osv.

Kan du finne en strategi for å løse opp ethvert sammenknyttet tau, uansett hvilken brøk man har endt opp med?

 

Starthjelp

Se på videoen i Tvinne og vri en gang til.

Kan du se strategien som brukes for å komme tilbake til null?

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Denne aktiviteten følger av Tvinne og vri, der elevene blir introdusert for et spennende triks som gir en kontekst for å øve på å manipulere brøker og regne med negative tall. Trikset kan gjøre dem engasjerte og nysgjerrige, noe som igjen kan lede til utforsking og forklaring av spennende matematikk, og generalisering og bevis.

Mulig tilnærming

Etter å har arbeidet med Tvinne og vri har elevene sett en sekvens av brøker som fører til sammenknytting og oppløsning av tauene, og de har løst opp en annen sekvens. Denne aktiviteten gir mulighet for å utforske og finne en strategi for å løse opp ethvert sammenknyttet tau.

Begynne med å minne elevene på de to operasjonene.

Med tvinning legger man til 1:

x→x+1

Vridning omgjør ethvert tall til den negative omvendte brøken:

x→−1x

«Jeg lurer på om det er mulig å komme tilbake til null, uansett hvilken brøk man har. La oss begynne med å utforske negative brøker med nevner 2, for eksempel   −52 , −172 eller −232. Kan dere finne en måte å komme tilbake til null på ved å bruke de to operasjonene?»

Gi elevene litt tid til denne utfordringen, og samle klassen igjen for å diskutere. Følgende strategi kan komme fram:
Fortsett å legge til 1 til du kommer til 12. Da gir én vridning −2, og to tvinninger til gir 0.

«Vi har en strategi for å komme til null når brøkene er på formen −n2. Kan noen forklare hvorfor dette hjelper oss med brøker på formen 2n?»
Begynn med en vridning for å få −n2, og fortsett med samme strategi som over.

Deretter kan elevene utforske brøker på formen −n3.

Denne gangen er det to måter å tenke på: Gjentatt tvinning fører enten til 13 eller til 23. I det første tilfellet fører en vridning til −3. I det andre tilfellet er 23 en brøk på formen 2n, så strategien over kan brukes.

Disse utforskingene hjelper elevene til å arbeide mot en generell strategi for å komme tilbake til null fra enhver brøk. Som avslutning på timen kan du utfordre dem til å løse opp en komplisert brøk. Det kan gjerne gjøres ved å bruke tau eller en tråd.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hvis du fortsetter å legge til 1 i brøker på formen −n2, hva vil til slutt skje?
  • Hvis du fortsetter å legge til 1 i brøker på formen −n3, hva vil til slutt skje?
  • Hvis du fortsetter å legge til 1 i brøker på formen −ab, hva vil til slutt skje?

 

Ressursen er utviklet av NRICH

8,9