Gjentakende

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Denne aktiviteten inneholder nøye utvalgte eksempler som er ment å gi elevene mulighet til å bevise at ethvert periodisk desimaltall kan skrives som en brøk. Sammen med aktiviteten Avsluttende eller ikke? kan denne aktiviteten gi verdifull innsikt i sammenhengen mellom representasjonene brøk og desimaltall.

Mulig tilnærming

Før dere begynner med oppgaven, bør du forsikre deg om at elevene forstår at notasjonen \(0,\overline2\) betyr \(0,2222222\)... Det er viktig at de forstår at 2-tallene gjentas for alltid. En vanlig misoppfatning om periodiske desimaltall innebærer å tenke på hva som kan komme helt til slutt, etter alle totallene.

Definer \(x = 2\), og be elevene om å diskutere med en medelev hva de kan gjøre med \(x\) for å få \(2,\overline2\)  Hvis de trenger hint, kan du stille disse spørsmålene:

• Hva kan du addere med \(x\) for å få \(2,\overline2\)?
• Hva kan du multiplisere \(x\) med for å få \(2,\overline2\)?

Pass på å få fram i diskusjonen at når desimalene gjentar seg, vil det å addere med 2 og multiplisere med 10 gi det samme svaret. Diskuter så med klassen prosessen med å sette opp og løse en likning med de to uttrykkene for \(2,\overline2\) lik hverandre. Du finner et annet eksempel under Starthjelp.

Når elevene er trygge på metoden med å konvertere periodiske desimaltall, for eksempel \(0,\overline2\), til brøk, kan de se på de andre desimaltallene i oppgaven:

\(0,\overline{25}\)

\(0,\overline{405}\)

\(0,8\overline3\)

\(0,002\overline7\)

Elevene kan sjekke svarene sine ved å regne ut for hånd eller med kalkulator.

De som blir ferdige, kan velge noen brøker, gjøre dem om til desimaltall, og så utfordre en medelev til å konvertere desimaltallet til en brøk igjen. Det kan gi gode muligheter til å diskutere kalkulatorens begrensninger, da kalkulatoren runder av tallet etter et gitt antall desimaler.

I plenumsdiskusjonen til slutt bør du ta utgangspunkt i elevenes tenking, for at dere sammen skal komme fram til en generell metode for å gjøre om ethvert periodisk desimaltall til brøk.

Gode veiledningsspørsmål

• Hva må du addere med \(x\) for å få \(2,\overline2\)?
• Hva må du multiplisere \(x\) med for å få \(2,\overline2\)?
• Hva skjer når du multipliserer et periodisk desimaltall med 10? 100? 1000?

Mulig utvidelse

Be elevene om å vurdere periodiske desimaltall, som \(0,\overline9\) og \(0,4\overline9\), for å lage et bevis for at de er lik henholdsvis \(1\) og \(12 \frac12\)

Mulig støtte

For noen elever vil et hinder med denne aktiviteten være at de er usikre på hva det vil si at et desimaltall er periodisk. Bruk mye tid på å diskutere det som skjer når man multipliserer avsluttende desimaltall med potenser av 10, og øk gradvis antallet desimalplasser (f.eks. \(0,2 \rightarrow 0,22 \rightarrow 0,222 \rightarrow 0,222\) osv.). Be så elevene om å se for seg at desimalplassene fortsetter for alltid, for å hjelpe dem med å forstå at etter at man har multiplisert et periodisk desimaltall med 10, er det fortsatt uendelig mange siffer bak desimalkommaet.