Gjentakande

Kvifor arbeide med denne oppgåva?

Denne aktiviteten inneheld nøye utvalde eksempel som kan gjere det mogleg for elevane å bevise at kva som helst periodisk desimaltal kan skrivast som ein brøk. Saman med aktiviteten Avsluttande eller ikkje? kan denne aktiviteten gi verdifull innsikt i samanhengen mellom representasjonane brøk og desimaltal.

Mogleg tilnærming

Før de begynner med oppgåva, bør du forsikre deg om at elevane forstår at notasjonen \(0,\overline2\) betyr \(0,2222222\)... Det er viktig at dei forstår at 2-tala blir gjentekne for alltid. Ei vanleg misoppfatning om periodiske desimaltal inneber at ein tenkjer på kva som kan kome heilt til slutt, etter alle totala.

Definer \(x = 2\), og be elevane om å diskutere med ein medelev kva dei kan gjere med \(x\) for å få \(2,\overline2\)  Hvis dei treng hint, kan du stille desse spørsmåla:

• Kva kan du addere med \(x\) for å få \(2,\overline2\)?
• Kva kan du multiplisere \(x\) med for å få \(2,\overline2\)?

Pass på å få fram i diskusjonen at når desimalane gjentek seg, vil det å addere med 2 og multiplisere med 10 gi det same svaret. Diskuter så med klassen prosessen med å setje opp og løyse ei likning med dei to uttrykka for \(2,\overline2\) lik kvarandre. Du finn eit anna eksempel under Starthjelp.

Når elevane er trygge på metoden med å konvertere periodiske desimaltal, for eksempel \(0,\overline2\), til brøk, kan dei sjå på dei andre desimaltala i oppgåva:

\(0,\overline{25}\)

\(0,\overline{405}\)

\(0,8\overline3\)

\(0,002\overline7\)

Elevane kan sjekke svara sine ved å rekne ut for hand eller med kalkulator.

Dei som blir ferdige, kan velje nokre brøkar, gjere dei om til desimaltal, og så utfordre ein medelev til å konvertere desimaltalet til ein brøk igjen. Det kan gi gode moglegheiter til å diskutere avgrensingar ved kalkulatoren, sidan kalkulatoren rundar av talet etter eit gitt antal desimalar.

I plenumsdiskusjonen til slutt bør du ta utgangspunkt i tenkinga hos elevane for at de saman skal kome fram til ein generell metode for å gjere om kva som helst periodisk desimaltal til brøk.

Gode rettleiingsspørsmål

• Kva må du addere med \(x\) for å få \(2,\overline2\)?
• Kva må du multiplisere \(x\) med for å få \(2,\overline2\)?
• Kva skjer når du multipliserer eit periodisk desimaltal med 10? 100? 1000?

Mulig utvidelse

Mogleg utviding

Be elevane om å vurdere periodiske desimaltal, som \(0,\overline9\) og \(0,4\overline9\), for å lage eit bevis for at dei er lik høvesvis \(1\) og \(12 \frac12\)

Mogleg støtte

For nokre elevar vil eit hinder med denne aktiviteten vere at dei er usikre på kva det vil seie at eit desimaltal er periodisk. Bruk mykje tid på å diskutere det som skjer når ein multipliserer avsluttande desimaltal med potensar av 10, og auk gradvis antalet desimalplassar (f.eks. \(0,2 \rightarrow 0,22 \rightarrow 0,222 \rightarrow 0,222\) osv.). Be så elevane om å sjå for seg at desimalplassane fortset for alltid, for å hjelpe dei med å forstå at etter at ein har multiplisert eit periodisk desimaltal med 10, er det framleis uendeleg mange siffer bak desimalkommaet.