Læreplankoblet

Arkimedes og numeriske røtter

Stikkord: Rotutdrag Algoritmer

Problem

Den brilliante Arkimedes greide i sin tid å fastslå at 3110<π<317.

Problemet er hvordan han beregnet lengdene til sidene i mangekantene, som han trengte for å beregne kvadratrøtter. Arkimedes hadde ikke kalkulator, men måtte likevel arbeide med enn viss nøyaktighet. For å få til det brukte han det vi i dag kaller numerisk analyse.

Hvordan kan han ha beregnet √3?
Svaret må ligge et sted mellom 1 og 2. Hvordan kan vi vite det?

Første tilnærming til √3
Vi kan si at første tilnærming er √3≈2.

Andre tilnærming til √3
Vi beregner gjennomsnittet av 32 og 2, som er 1,75. Det kan vi kalle den andre tilnærmingen til √3. Vi sier altså at en bedre tilnærming til √3 er 3n+n2, der n er en tilnærming til √3.

Tredje tilnærming til √3
Deretter repeterer vi prosessen for å finne en tredje tilnærming til √3. √3≈31,75+1,752=1,73214...

Bruk 1,73214 og repeter prosessen for å finne en fjerde tilnærming.

  • Hvor mange tilnærminger må du gjøre for å finne √3 med en presisjon på fem desimaler?
  • Hvorfor tror du det fungerer?
  • Vil dette alltid fungere, uansett hva som velges som første tilnærming, og vil det fungere for andre røtter?

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

I denne oppgaven skal elevene bruke numerisk analyse for å finne røtter. Metoden kan også programmeres for å lage en rotkalkulator.

Mulig tilnærming

«Hvordan kan jeg finne kvadratroten av 3 hvis jeg ikke har en kalkulator?» La elevene diskutere dette spørsmålet litt, og samle forslagene deres. Sannsynligvis vil forskjellige metoder med prøving og feiling komme fram, i tillegg til observasjoner, som at svaret vil ligge mellom 1 og 2.

«Prøving, feiling og forbedring tar tid. Her skal vi se på en annen numerisk metode for å finne røtter.» Introduser algoritmen for å finne en ny tilnærming som er beskrevet på oppgavesiden. La elevene eksperimentere litt med metoden for å bli kjent med den. De vil se at den nærmer seg √3. «Kan dere tilpasse metoden, slik at den finner roten til andre tall? Kan dere forklare hvorfor den fungerer?» Gi elevene litt tid til å utforske de to spørsmålene. Avslutt igjen med en samtale i plenum der elevene får dele forslag og forklaringer.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hva beregner 3n+n2 dersom n er en tilnærming til √3?
  • Hvordan kan du endre metoden for å finne andre kvadratrøtter?
  • Hvordan kan likningen n=3n+n2 hjelpe deg med å forstå hvorfor metoden fungerer?

Ressursen er utviklet av NRICH

9,10