Læreplankoblet

Arkimedes og numeriske røtter

Stikkord: Rotutdrag Algoritmer

Problem

Den brilliante Arkimedes greide i sin tid å fastslå at \(\frac{31}{10}<\pi<\frac{31}{7}\).

Problemet er hvordan han beregnet lengdene til sidene i mangekantene, som han trengte for å beregne kvadratrøtter. Arkimedes hadde ikke kalkulator, men måtte likevel arbeide med enn viss nøyaktighet. For å få til det brukte han det vi i dag kaller numerisk analyse.

Hvordan kan han ha beregnet \(\sqrt3\)?
Svaret må ligge et sted mellom 1 og 2. Hvordan kan vi vite det?

Første tilnærming til \(\sqrt3\)
Vi kan si at første tilnærming er \(\sqrt3\approx2\).

Andre tilnærming til \(\sqrt3\)
Vi beregner gjennomsnittet av \(\frac32\) og 2, som er 1,75. Det kan vi kalle den andre tilnærmingen til \(\sqrt3\). Vi sier altså at en bedre tilnærming til \(\sqrt3\) er \(\frac{\frac3n+n}{2}\), der n er en tilnærming til \(\sqrt3\).

Tredje tilnærming til \(\sqrt3\)
Deretter repeterer vi prosessen for å finne en tredje tilnærming til \(\sqrt3\). \(\sqrt3\approx\frac{\frac{3}{1,75}+1,75}{2}=1,73214...\)

Bruk 1,73214 og repeter prosessen for å finne en fjerde tilnærming.

  • Hvor mange tilnærminger må du gjøre for å finne \(\sqrt3\) med en presisjon på fem desimaler?
  • Hvorfor tror du det fungerer?
  • Vil dette alltid fungere, uansett hva som velges som første tilnærming, og vil det fungere for andre røtter?

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

I denne oppgaven skal elevene bruke numerisk analyse for å finne røtter. Metoden kan også programmeres for å lage en rotkalkulator.

Mulig tilnærming

«Hvordan kan jeg finne kvadratroten av 3 hvis jeg ikke har en kalkulator?» La elevene diskutere dette spørsmålet litt, og samle forslagene deres. Sannsynligvis vil forskjellige metoder med prøving og feiling komme fram, i tillegg til observasjoner, som at svaret vil ligge mellom 1 og 2.

«Prøving, feiling og forbedring tar tid. Her skal vi se på en annen numerisk metode for å finne røtter.» Introduser algoritmen for å finne en ny tilnærming som er beskrevet på oppgavesiden. La elevene eksperimentere litt med metoden for å bli kjent med den. De vil se at den nærmer seg \(\sqrt3\). «Kan dere tilpasse metoden, slik at den finner roten til andre tall? Kan dere forklare hvorfor den fungerer?» Gi elevene litt tid til å utforske de to spørsmålene. Avslutt igjen med en samtale i plenum der elevene får dele forslag og forklaringer.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hva beregner \(\frac{\frac{3}n+n}{2}\) dersom n er en tilnærming til \(\sqrt3\)?
  • Hvordan kan du endre metoden for å finne andre kvadratrøtter?
  • Hvordan kan likningen \(n=\frac{\frac{3}n+n}{2}\) hjelpe deg med å forstå hvorfor metoden fungerer?

Ressursen er utviklet av NRICH

9,10