Læreplankoblet

Arkimedes og numeriske røter

Stikkord: Rotutdrag Algoritmer

Problem

Den brilliante Arkimedes greidde i si tid å slå fast at \(\frac{31}{10}<\pi<\frac{31}{7}\).

Problemet er korleis han rekna ut lengdene til sidene i mangekantane, som han trong for å rekne ut kvadratrøter. Arkimedes hadde ikkje kalkulator, men måtte likevel arbeide med ei viss nøyaktigheit. For å få til det brukte han det vi i dag kallar numerisk analyse.

Korleis kan han ha rekna \(\sqrt3\)?
Svaret må liggje ein stad mellom 1 og 2. Korleis kan vi vite det?

Første tilnærminga til \(\sqrt3\)
Vi kan seie at første tilnærming er \(\sqrt3\approx2\).

Andre tilnærminga til \(\sqrt3\)
Vi reknar ut gjennomsnittet av \(\frac32\) og 2, som er 1,75. Det kan vi kalle den andre tilnærminga til \(\sqrt3\). Vi seier altså at ei betre tilnærming til \(\sqrt3\) er \(\frac{\frac3n+n}{2}\), der n er ei tilnærming til \(\sqrt3\).

Tredje tilnærminga til \(\sqrt3\)
Deretter repeterer vi prosessen for å finne ei tredje tilnærming til \(\sqrt3\). \(\sqrt3\approx\frac{\frac{3}{1,75}+1,75}{2}=1,73214...\)

Bruk 1,73214 og repeter prosessen for å finne ei fjerde tilnærming.

  • Kor mange tilnærmingar må du gjere for å finne \(\sqrt3\) med ein presisjon på fem desimalar?
  • Kvifor trur du det fungerer?
  • Vil dette alltid fungere, same kva ein vel som første tilnærming, og vil det fungere for andre røter?

Lærarrettleiing

Kvifor skal vi arbeide med denne oppgåva?

I denne oppgåva skal elevane bruke numerisk analyse for å finne røter. Metoden kan også programmerast for å lage ein rotkalkulator.

Mogleg tilnærming

«Korleis kan eg finne kvadratrota av 3, om eg ikkje har ein kalkulator?» La elevane diskutere dette spørsmålet litt, og samle forslaga deira. Sannsynlegvis vil forskjellige metodar med prøving og feiling kome fram, i tillegg til observasjonar, som at svaret vil liggje mellom 1 og 2.

«Prøving, feiling og forbetring tek tid. Her skal vi sjå på ein annan numerisk metode for å finne røter.» Introduser algoritmen for å finne ei ny tilnærming som er forklart på oppgåvesida. La elevane eksperimentere litt med metoden for å bli kjende med han. Dei vil sjå at han nærmar seg \(\sqrt3\). «Kan de tilpasse metoden, slik at han finn rota til andre tal? Kan de forklare kvifor han fungerer?» Gi elevane litt tid til å utforske dei to spørsmåla. Avslutt med ein samtale i plenum der elevane får dele forslag og forklaringar.

Gode rettleiingsspørsmål

  • Kva reknar \(\frac{\frac{3}n+n}{2}\) ut dersom n er ei tilnærming til \(\sqrt3\)?
  • Korleis kan du endre metoden for å finne andre kvadratrøter?
  • Korleis kan likninga \(n=\frac{\frac{3}n+n}{2}\) hjelpe deg med å forstå kvifor metoden fungerer?

Ressursen er utviklet av NRICH

9,10