Uttrykk for omkrets
Aktivitet
Isak tok et ark og delte det i to. Deretter delte han den ene halvdelen i to, og fortsatte slik til han hadde fem deler til sammen, se figuren under.
Han navnga sidene i det minste rektangelet. Kortsiden kalte han a og langsiden b.
Under er en figur som Isak laget ved å sette sammen det største og det minste rektangelet.
Sjekk at du er enig i at omkretsen er 10a + 4b.
Tiril satte sammen det største og det minste rektangelet på en annen måte. Hennes form hadde omkretsen 8a + 6b. Kan du finne ut hvordan hennes figur ser ut?
Isak og Tiril passet på at rektanglene alltid ble satt sammen langs en side, slik at to hjørner rørte hverandre. Kan du lage flere ulike omkretser ved å sette sammen det største og det minste rektangelet på denne måten?
Lag noen andre former ved å sette sammen to eller flere av rektanglene, og pass på at du setter dem sammen langs en side, slik at to hjørner rører hverandre. Hva kan du si om arealet og omkretsen til formene du lager?
Hvis du har en venn å arbeide sammen med, kan begge lage en form og finne arealet og omkretsen. Kan dere deretter gjenskape hverandres former hvis dere bare vet arealet og omkretsen?
Noen spørsmål å tenke på:
- Hva er den største omkretsen du kan lage ved å bruke alle delene?
- Kan du lage to ulike former som har både samme areal og samme omkrets?
- Kan du lage to ulike former som har samme omkrets, men forskjellig areal?
- Hvordan kan du sette sammen hvilke som helst rektangler for å lage størst mulig omkrets?
- Isak tror han har funnet en form med omkrets 7a + 4b. Kan du finne denne formen?
- Hva kan du si om mulige omkretser, hvis a og b er sidelengdene i et annet rektangel?
Starthjelp
Her er sidelengdene i alle rektanglene:
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne oppgaven?
Denne aktiviteten gir elevene mange muligheter til å øve på å manipulere algebraiske uttrykk i en meningsfull kontekst. På veien vil utfordringene gi forståelse som er verdt å dele i klassen. Rollen som sidelengdene spiller i formlene for areal og omkrets, kan også komme fram.
Mulig tilnærming
Oppgavearket i menyen til venstre kan være nyttig.
Del ut A4-ark og presenter aktiviteten. Gi elevene tid til å klippe ut de fem rektanglene.
Vis bildet av Isaks form, og be elevene om å finne omkretsen uttrykt med a og b. Arealet av det minste rektangelet, R, kan brukes til å uttrykke de andre arealene hvis elevene ennå ikke er trygge nok på algebra til å uttrykke det med a og b.
Når alle er enige om at arealet er 9R eller 9ab, og at omkretsen er 10a + b, skal de sette sammen det største og det minste rektangelet (side inntil side og hjørne inntil hjørne) for å lage andre former. De skal også finne areal og omkrets for de nye formene. Hvor mange ulike omkretser kan de finne?
Når alle har gjort dette, kan dere diskutere. Er elevene overrasket over at de fant bare én annen omkrets, og at de to svarene kan utledes på flere måter?
Den neste utfordringen er å lage ulike former ved å bruke minst to av rektanglene, og så finne arealet og omkretsen. Elevene kan arbeide i par, lage en form og finne areal og omkrets, og gi arealet og omkretsen til et annet par, som så skal lage en form med samme areal og omkrets. Her kan det bli fruktbare diskusjoner når de sammenligner de to formene for å finne ut hva som er likt og hva som er forskjellig.
Alternativt kan du skrive elevenes arealer og omkretser på tavla. Så kan parene sette sammen rektangler for å lage hver kombinasjon av areal og omkrets.
«Noen spørsmål å tenke på» kan være interessante å diskutere. Elevene kan også få foreslå spørsmål som de tror matematikere kan stille seg selv når de arbeider med oppgaven.
Gode veiledningsspørsmål
- Hvordan vet vi om et uttrykk representerer et areal eller en omkrets?
- Hva forteller arealuttrykket om delene som er brukt til å lage en form? Finner dere flere måter å lage en gitt areal-omkrets-kombinasjon på?
Mulig utvidelse
Oppgaven «Tallpyramider» bygger på denne aktiviteten ved å utfordre elevene til å lage algebraiske uttrykk for å forklare sammenhenger.
Mulig støtte
Bruk tallverdier i stedet for a og b, og klipp rektanglene av kvadratisk papir. Begynn med å se etter numeriske sammenhenger i stedet for algebraiske, og introduser kanskje algebra for å forklare mønstrene elevene finner.
Ressursen er utviklet av NRICH