Hvorfor arbeide med denne oppgaven?
Denne oppgaven gir elevene øving i å tenke på og visualisere tredimensjonale figurer. Dessuten krever den at de finner et system å arbeide ut fra. Hvis man bare teller tilfeldig, kan man telle dobbelt eller overse noen av radene, slik at det ender med feil svar. Bare ved å arbeide nøyaktig og systematisk kan elevene overbevise seg selv og andre om at de har funnet det riktige antallet muligheter for tre på rad.
Denne oppgaven utfordrer elevene til å studere strukturen i problemet ved å prøve å forstå hvordan andre har tenkt. Dette er en viktig del av det å arbeide matematisk. Men la dem først arbeide litt med problemet uten å se disse eksemplene, slik at de får satt seg godt inn i hva problemet går ut på.
Det er nyttig å studere grundig og forstå flere ulike måter å løse oppgaven på, og da vil elevene kunne innse verdien av å arbeide systematisk med et problem.
Mulig tilnærming
«Hvis jeg har et 3 x 3-rutenett, kan jeg legge tre på rad på 8 ulike måter. Jeg lurer på hvor mange mulige måter som finnes i en tredimensjonal kube.»
Bildet i oppgaven (og kopieringsoriginalen) kan brukes for å vise et eksempel på tre på rad i en kube. Kopieringsoriginalen til oppgaven finnes her.
Gi elevene tid til å diskutere muligheter og svar med partnerne sine. Mens de arbeider, kan du gå rundt i klassen og observere ulike tilnærminger, og utfordre dem til å forklare hvordan de tenker. Etter en stund kan dere stoppe opp og dele løsninger, og kanskje skrive ulike metoder og forslag på tavla.
«Det kan ofte være vanskelig å vite om man har funnet det riktige svaret i slike oppgaver, for det er mulig å overse en løsning eller å telle samme løsning to ganger. Dere skal nå få se fire ulike måter å systematisere og løse oppgaven på. Prøv å forstå hver av metodene.»
Kopieringsoriginaler til de fire måtene å løse oppgaven på finnes her.
Del ut de to arkene med løsninger. Det er to metoder på hvert ark, så du kan velge om alle elevene skal få se alle fire metodene, eller om alle skal få bare ett ark, slik at de får se bare to metoder hver.
«Nå kan dere prøve å finne ut hvor mange måter dere kan legge fire på rad på i en 4 x 4 x 4-kube. Bruk eksemplene på metoder som dere har sett, til hjelp.»
«Når dere har dere har brukt metodene på en 4 x 4 x 4-kube, kan dere prøve ut samme problem med større kuber. Prøv så å finne et uttrykk for hvor mange rader med n kuler som kan plasseres i en
10 x 10 x 10-kube.»
Samle klassen, og be dem forklare hvordan de tenker, når de skal finne ut hvor mange måter de kan plassere ti på rad på i en 10 x 10 x 10-kube.
Arbeid til slutt i fellesskap med å bruke hver av de fire metodene til å utlede formelen for antallet måter å plassere n kuler på i en n x n x n-kube. Vis at alle løsningene er ekvivalente. Kontroller at løsningene på de spesielle tilfellene stemmer med den generelle løsningen.
Gode veiledningsspørsmål
Hvordan vil dere systematisere tellingen av rader slik at dere ikke overser noen?
Hvordan kan dere se om dere har telt noen rader to ganger?
Hvordan kan dere utvide Karolines (eller Pauls eller Alises eller Karls) metode til en 4 x 4 x 4-kube?
Illustrasjonsfoto: Nikita Lachanovsky on Unsplash
