Læreplankoblet

Problemets rot

Stikkord: Regning med eksakte størrelser Konjugatsetningen Brøk Rotuttrykk

Aktivitet

Alise har undersøkt summer med kvadratrøtter. Hun brukte et regneark for å lage kolonner med kvadratrøtter, og så la hun dem sammen etter forskjellige systemer.

Her er en av summene hun regnet ut:

1√1+√2+1√2+√3+...+1√99+√1001√1+√2+1√2+√3+...+1√99+√100

Hun ble overrasket over svaret.

Finn en måte å regne ut svaret på uten å bruke lommeregner eller regneark.

Starthjelp

Hint 1

Det kan være en hjelp å begynne med å undersøke summen med regneark.

Hint 2

Det kan også være en hjelp å løse et enklere problem først, for eksempel hvis det er bare ett, to eller tre ledd i summen.

Hint 3

Når en brøk inneholder kvadratrøtter, bruker vi ofte å multiplisere telleren og nevneren med et uttrykk som gjør at vi blir kvitt røttene i nevneren. Det kan være nyttig å huske på at (a+b)(a−b)=a2−b2.(a+b)(a−b)=a2−b2.

Hint 4

Finn flere lignende summer med røtter som gir hele tall til svar.

Hint 5

Kan dere skrive brøken 1√n+√n+11√n+√n+1 på en måte slik at det ikke blir noe rotuttrykk i nevneren?

 

 

 

Løsning

Løsningsforslag 1

1√1+√2+1√2+√3+1√3+√4+...+1√98+√99+1√99+√100=1⋅(√1−√2)(√1+√2)(√1−√2)+1⋅(√2−√3)(√2+√3)(√2−√3)+1⋅(√3−√4)(√3+√4)(√3−√4)+...+1⋅(√98−√99)(√98+√99)(√98−√99)+1⋅(√99−√100)(√99+√100)(√99−√100)=√1−√21−2+√2−√32−3+√3−√43−4+...+√98−√9998−99+√99−√10099−100=√1−√2−1+√2−√3−1+√3−√4−1+...+√98−√99−1+√99−√100−1=−√1+(√2−√2)+(√3−√3)+√4−...−√98+(√99−√99)+√100=−√1+√100=−1+10=9

Løsningsforslag 2

63 løsning

 

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Denne oppgaven gir elevene anledning til å øve på manipulering av røtter i nevneren. De vil også se at hvis de prøver å forenkle problemet ved å avrunde tallene, får de en mye mer komplisert og uoversiktlig oppgave. 

Mulig tilnærming

Be elevene bruke regneark for å regne ut deler av følgen
1√1+√2+1√2+√3+...+1√99+√100

Rekken må alltid begynne med samme brøk, men elevene kan velge hvor mange ledd de vil ta med. Forhåpentligvis blir de overrasket over å se at i flere tilfeller blir summen et helt tall. Kan de lage en hypotese om når det inntreffer?

Be så elevene om å regne uten hjelpemidler. De kan begynne med uttrykket 1√1+√2+1√2+√3

Kanskje må du minne dem på hva vi kan gjøre for å bli kvitt rotuttrykket i nevneren.

De skal ta med stadig flere ledd før de generaliserer.

Gode veiledningsspørsmål

  • La det høyeste tallet under rottegnet i den siste brøken være n. For hvilke verdier av n blir summen av rekken et helt tall?
  • Kan dere skrive brøken 1√1+√2 på en slik måte at det ikke blir noe rotuttrykk i nevneren? Kan dere gjøre tilsvarende med de neste brøkene? 

Mulig utvidelse

Hva blir summen hvis den siste nevneren er √n−1+√n?

 

Illustrasjonsfoto: Good Free Photos

Ressursen er utviklet av NRICH

10