Læreplankoblet

Rota til problemet

Stikkord: Regning med eksakte størrelser Konjugatsetningen Brøk Rotuttrykk

Aktivitet

Alise har undersøkt summar med kvadratrøter. Ho brukte eit rekneark for å lage kolonnar med kvadratrøter, og så la ho dei saman etter ulike system.

Her er ein av summane ho rekna ut:

\(\frac1{\sqrt1+\sqrt2}+\frac1{\sqrt2+\sqrt3}\:+\:...\:+\:\frac1{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

Ho vart overraska over svaret.

Finn ein måte å rekne ut svaret på utan å bruke lommereknar eller rekneark.

Starthjelp

Hint 1

Det kan vere ei hjelp å byrje med å undersøkje summen med rekneark.

Hint 2

Det kan også vere ei hjelp å løyse eit enklare problem først, til dømes viss det er berre eitt, to eller tre ledd i summen.

Hint 3

Når ein brøk inneheld kvadratrøter, bruker vi ofte å multiplisere teljaren og nemnaren med eit uttrykk som gjer at vi blir kvitt røtene i nemnaren. Det kan vere nyttig å hugse på at  \((a + b)(a - b) = {a^2} - {b^2}.\)

Hint 4

Finn fleire liknande summar med røter som gir heile tal til svar.

Hint 5

Kan de skrive brøken  \(\frac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }}\) på ein måte slik at det ikkje blir noko rotuttrykk i nemnaren?

 

 

 

Løysing

Løysingsforslag 1

\(\begin{array}{l} \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {98} + \sqrt {99} }} + \frac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }} = \\ \\ \frac{{1 \cdot \left( {\sqrt 1 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 1 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 1 - \sqrt 2 } \right)}} + \frac{{1 \cdot \left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}} + \frac{{1 \cdot \left( {\sqrt 3 - \sqrt 4 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 4 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 4 } \right)}} + ...\\ \\ {\rm{ }} + \frac{{1 \cdot \left( {\sqrt {98} - \sqrt {99} } \right)}}{{\left( {\sqrt {98} + \sqrt {99} } \right)\left( {\sqrt {98} - \sqrt {99} } \right)}} + \frac{{1 \cdot \left( {\sqrt {99} - \sqrt {100} } \right)}}{{\left( {\sqrt {99} + \sqrt {100} } \right)\left( {\sqrt {99} - \sqrt {100} } \right)}} = \\ \\ \frac{{\sqrt 1 - \sqrt 2 }}{{1 - 2}} + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{2 - 3}} + \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 4 }}{{3 - 4}} + ... + \frac{{\sqrt {98} - \sqrt {99} }}{{98 - 99}} + \frac{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }}{{99 - 100}} = \\ \\ \frac{{\sqrt 1 - \sqrt 2 }}{{ - 1}} + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{ - 1}} + \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 4 }}{{ - 1}} + ... + \frac{{\sqrt {98} - \sqrt {99} }}{{ - 1}} + \frac{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }}{{ - 1}} = \\ \\\scriptstyle - \sqrt 1 + \left( {\sqrt 2 - \sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 3 } \right) + \sqrt 4 - ... - \sqrt {98} + \left( {\sqrt {99} - \sqrt {99} } \right) + \sqrt {100} = \\ \\ - \sqrt 1 + \sqrt {100} = \\ - 1 + 10 = \\ 9 \end{array}\)

Løysingsforslag 2

63 løsning

 

Lærarrettleiing

Kvifor arbeide med denne oppgåva?

Denne oppgåva gir elevane høve til å øve på manipulering av røter i nemnaren. Dei vil også sjå at viss dei prøver å forenkle problemet ved å avrunde tala, får dei ein mykje meir komplisert og uoversiktleg oppgåve.

Mogleg tilnærming

Be elevane bruke rekneark for å rekne ut delar av følgja
\(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }}\)

Rekkja må alltid byrje med same brøk, men elevane kan velje kor mange ledd dei vil ta med. Forhåpentleg blir dei overraska over å sjå at i fleire tilfelle blir summen eit heilt tal. Kan dei lage ein hypotese om når det hender?

Be så elevane om å regne utan hjelpemiddel. Dei kan byrje med uttrykket  \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}\)

Kanskje må du minne dei på kva vi kan gjere for å bli kvitt rotuttrykket i nemnaren.

Dei skal ta med stadig fleire ledd før dei generaliserer.

Gode rettleiingsspørsmål

  • La det høgaste talet under rottegnet i den siste brøken vere n. For kva verdiar av n blir summen av rekkja eit heilt tal?
  • Kan de skrive brøken \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }}\) på ein slik måte at det ikkje blir noko rotuttrykk i nemnaren? Kan de gjere tilsvarande med dei neste brøkene?

Mogleg utviding

Kva blir summen hvis den siste nemnaren er \(\sqrt {n - 1} + \sqrt n\)?

 

Illustrasjonsfoto: Good Free Photos

Ressursen er utviklet av NRICH

10