Læreplankoblet

Rota til problemet

Stikkord: Regning med eksakte størrelser Konjugatsetningen Brøk Rotuttrykk

Aktivitet

Alise har undersøkt summar med kvadratrøter. Ho brukte eit rekneark for å lage kolonnar med kvadratrøter, og så la ho dei saman etter ulike system.

Her er ein av summane ho rekna ut:

1√1+√2+1√2+√3+...+1√99+√1001√1+√2+1√2+√3+...+1√99+√100

Ho vart overraska over svaret.

Finn ein måte å rekne ut svaret på utan å bruke lommereknar eller rekneark.

Starthjelp

Hint 1

Det kan vere ei hjelp å byrje med å undersøkje summen med rekneark.

Hint 2

Det kan også vere ei hjelp å løyse eit enklare problem først, til dømes viss det er berre eitt, to eller tre ledd i summen.

Hint 3

Når ein brøk inneheld kvadratrøter, bruker vi ofte å multiplisere teljaren og nemnaren med eit uttrykk som gjer at vi blir kvitt røtene i nemnaren. Det kan vere nyttig å hugse på at  (a+b)(a−b)=a2−b2.(a+b)(a−b)=a2−b2.

Hint 4

Finn fleire liknande summar med røter som gir heile tal til svar.

Hint 5

Kan de skrive brøken  1√n+√n+11√n+√n+1 på ein måte slik at det ikkje blir noko rotuttrykk i nemnaren?

 

 

 

Løysing

Løysingsforslag 1

1√1+√2+1√2+√3+1√3+√4+...+1√98+√99+1√99+√100=1⋅(√1−√2)(√1+√2)(√1−√2)+1⋅(√2−√3)(√2+√3)(√2−√3)+1⋅(√3−√4)(√3+√4)(√3−√4)+...+1⋅(√98−√99)(√98+√99)(√98−√99)+1⋅(√99−√100)(√99+√100)(√99−√100)=√1−√21−2+√2−√32−3+√3−√43−4+...+√98−√9998−99+√99−√10099−100=√1−√2−1+√2−√3−1+√3−√4−1+...+√98−√99−1+√99−√100−1=−√1+(√2−√2)+(√3−√3)+√4−...−√98+(√99−√99)+√100=−√1+√100=−1+10=9

Løysingsforslag 2

63 løsning

 

Lærarrettleiing

Kvifor arbeide med denne oppgåva?

Denne oppgåva gir elevane høve til å øve på manipulering av røter i nemnaren. Dei vil også sjå at viss dei prøver å forenkle problemet ved å avrunde tala, får dei ein mykje meir komplisert og uoversiktleg oppgåve.

Mogleg tilnærming

Be elevane bruke rekneark for å rekne ut delar av følgja
1√1+√2+1√2+√3+...+1√99+√100

Rekkja må alltid byrje med same brøk, men elevane kan velje kor mange ledd dei vil ta med. Forhåpentleg blir dei overraska over å sjå at i fleire tilfelle blir summen eit heilt tal. Kan dei lage ein hypotese om når det hender?

Be så elevane om å regne utan hjelpemiddel. Dei kan byrje med uttrykket  1√1+√2+1√2+√3

Kanskje må du minne dei på kva vi kan gjere for å bli kvitt rotuttrykket i nemnaren.

Dei skal ta med stadig fleire ledd før dei generaliserer.

Gode rettleiingsspørsmål

  • La det høgaste talet under rottegnet i den siste brøken vere n. For kva verdiar av n blir summen av rekkja eit heilt tal?
  • Kan de skrive brøken 1√1+√2 på ein slik måte at det ikkje blir noko rotuttrykk i nemnaren? Kan de gjere tilsvarande med dei neste brøkene?

Mogleg utviding

Kva blir summen hvis den siste nemnaren er √n−1+√n?

 

Illustrasjonsfoto: Good Free Photos

Ressursen er utviklet av NRICH

10