Fjern et tall

Vi begynner med tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6. Når vi stryker ett tall, blir det 5 tall igjen. Gjennomsnittet er summen av tallene delt på antall tall. Når vi stryker ett av tallene, skal vi dele på 5. Det betyr at summen må være et tall i 5-gangen, hvis gjennomsnittet skal bli et helt tall. Tallene som er mindre enn 5, kan vi gruppere i to par som begge blir 5 til sammen: 1 + 4 = 5, og 2 + 3 = 5. Hvis vi stryker 6, blir summen 15 og gjennomsnittet 15 : 5 = 3. Legger vi sammen tallene fra 1 til 6, får vi 21, 1 mer enn 20, som 5 går opp i. Så hvis vi stryker 1, blir gjennomsnittet 20 : 5 = 4.

Hvis vi har tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, kan vi tenke på samme måte. Når vi stryker ett tall, har vi 7 igjen. Tallene som er mindre enn 7, kan vi gruppere i par som blir 7 til sammen: 1 + 6 = 7, 2 + 5 = 7 og 3 + 4 = 7. Hvis vi stryker 8, blir summen 28 og gjennomsnittet 28 : 7 = 4. Vi kan også velge å beholde 8 og stryke 1. Da får vi også en sum som er delelig på 7, og gjennomsnittet blir et helt tall, 35 : 7 = 5.

Hvis vi lar N være et partall og har tallene 1, 2, 3, …, N, kan vi resonnere på samme måte. Av alle tallene som er mindre enn N – 1, kan vi lage par som blir N – 1 til sammen. Så hvis vi fjerner N, er summen et helt tall multiplisert med N – 1. Hvis vi fjerner 1 og legger til N, har summen økt med N – 1.

For at gjennomsnittet skal bli et helt tall, kan vi altså stryke 1 eller N når N er et partall.

Det er ingen andre tall vi kan stryke, for når vi fjerner det minste tallet, 1, blir gjennomsnittet \(\frac{N}2+1\), og hvis vi fjerner det største tallet, N, blir gjennomsnittet \(\frac{N}2\). Hvis vi hadde fjernet et tall mellom 1 og N, måtte gjennomsnittet vært et tall mellom disse to, men det finnes ikke noe helt tall mellom to påfølgende heltall.

Hvis vi lar N være et oddetall, blir det annerledes.

Hvis vi har tallene 1, 2, 3, blir gjennomsnittet et helt tall når vi stryker 2.

Hvis vi har tallene 1, 2, 3, 4, 5, blir gjennomsnittet et helt tall når vi stryker 3.

Hvis vi har tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, blir gjennomsnittet et helt tall når vi stryker 4.

Hvis vi har tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, blir gjennomsnittet et helt tall når vi stryker 5.

Det ser ut til at hvis N er et oddetall og vi stryker \(\frac{N+1}2\) (medianen), vil gjennomsnittet bli et helt tall. Når N er et oddetall og vi fjerner et tall, finner vi gjennomsnittet ved å dele på N – 1, som er et partall.

En måte å forklare det på er slik:

Vi lar N være et oddetall og tenker oss at vi har tallene 1, 2, 3, …, N. Summen av de N første naturlige tallene er \(\frac{(N+1)N}2\).

Vi ser hva vi får igjen hvis vi trekker fra \(\frac{N+1}2\):
\(\begin{align} \frac{(N+1)N}2-\frac{N+1}2&=\\ \frac{N^2+N-N-1}2&=\\ \frac{N^2-1}2&=\\ \frac{(N+1)(N-1)}2&=\\ \frac{N+1}2\cdot(N-1) \end{align}\)

\(\frac{N+1}2\) er et helt tall, siden N er et oddetall. Så hvis vi trekker medianen, \(\frac{N+1}2\), fra summen av alle de N tallene, blir summen et helt tall multiplisert med N – 1. Da vet vi at om vi dividerer summen av de resterende tallene på N – 1, blir gjennomsnittet et helt tall.

Det finnes ingen flere muligheter, for gjennomsnittet må ligge mellom \(\frac{N}2\) og \(\frac{N}2+1\), og det eneste hele tallet mellom de to er \(\frac{N+1}2\).

I lærerveiledningen finnes det visuelle bevis (bevis ved figurer) for disse sammenhengene.
 

Ekstra utfordringer

1. Ett av tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6 blir fjernet, og gjennomsnittet av tallene som står igjen, er 3,6. Hvilket tall er fjernet?
   
   Løsning:
   Hvis gjennomsnittet av 5 tall er 3,6, er summen av de fem tallene \(5\cdot3,6=18\). Summen av de hele tallene fra 1 og oppover er trekanttallene, og det sjette trekanttallet (\(1+2+3+4+5+6\)) er 21. Da må det være 3-tallet som er fjernet, siden \(21-18=3\).
    
2. Ett av tallene fra 1 til 15 er fjernet, og gjennomsnittet av tallene som står igjen, er \(7,\dot{7}1428\dot{5}\) (desimalene 714285 gjentas i det uendelige). Hvilket tall er fjernet?
   
   Løsning:
   Summen av de 15 første heltallene er \(\frac{1+15}2\cdot15=120\).
   Vi skal trekke fra et ukjent tall x og finne gjennomsnittet av de 14 gjenværende tallene:
   \(\begin{align}\frac{120-x}{14}&=7,714285714285\\ 120 - x &= 14\cdot7,714285714285\\ 120-x&=108\\ x&=12 \end{align}\)
   
   Tallet 12 er fjernet.
    
3. Ett av tallene fra 1 til N, der N er et ukjent tall, er fjernet. Gjennomsnittet av tallene som står igjen, er \(6,8\dot{3}\) (desimalen 3 gjentas i det uendelige). Hvilket tall er N, og hvilket tall er fjernet?
   
   Løsning:
   Gjennomsnittstallet av flere påfølgende heltall ligger «midt i» tallene når de står i rekkefølge. Hvis gjennomsnittet av noen påfølgende heltall er 6,8333…, kan vi gjette at det største tallet må være 13 eller 14. (Gjennomsnittet av heltallene 1–12 er 6,5, og av 1–13 er det 7.) Siden 3 gjentas i desimalene, antar vi at antallet som summen er delt på, må ha 3 som faktor. I dette tilfellet er det 12. Da er det største tallet 13, og tallet som er tatt bort, er x:
   \(1+2+3+...+13=\frac{1+13}2\cdot13= 91\\ \begin{align} \frac{91-x}{12}&=6,8\dot3\\ -(-x)&=-(6,8\dot3\cdot12-91)\\ x&\approx9 \end{align}\)
   
   N = 13, og 9 er fjernet.
    
4. Ett av tallene fra 1 til N er fjernet, og gjennomsnittet av tallene som står igjen, er 25,76. Hvilket tall er N, og hvilket tall er fjernet?
   
   Løsning:
   Gjennomsnittet av heltallene 1–50 er 25,5, og av 1–51 er det 26. Da kan vi anta at N er 51 eller 52. Siden gjennomsnittet er et desimaltall med et endelig antall desimaler, antar vi at N = 51, slik at vi skal dele summen av alle tallene på partallet 50:
   \(1+2+3+...+51=\frac{51+1}2\cdot51=1326\\ \\ \begin{align} \frac{1326-x}{50}&=26,76\\ x&=-(26,76\cdot50-1326)\\ x&=38 \end{align}\)
   
   N = 51, og 38 er fjernet.