Løpebanen

Aktivitet

Tenk deg at du er med på å bygge et nytt olympisk stadion, og at du har fått ansvaret for å designe og merke opp løpebanen. Banen skal oppfylle følgende spesifikasjoner:

  • Avstanden rundt innsiden av banen skal være 400 m.
  • Det skal være 8 baner i anlegget.
  • Hver bane skal være 1,25 m bred.
  • Banen skal bestå av to rette strekninger som er forbundet med to halvsirkelformede seksjoner.
  • De rette strekningene skal være 85 m lange. (En rett strekning skal utvides ut over den buede delen for 100 m-løp, slik figuren viser.)
Løpebane
Figur 1

Kan du regne ut radien i de buede seksjonene, slik at kravet til total lengde blir oppfylt?

I 200 m-løp starter løperne i den buede seksjonen til høyre i bildet og løper mot klokka til mållinja oppe til venstre. Siden de ytre løpebanene er lengre enn de indre, må startpunktene for løperne forskyves slik at alle løper 200 m.

Kan du finne ut hvor hver løper må starte, slik at alle åtte løper 200 m?

I 400 m-løp er startlinja og mållinja den samme for løperen i indre bane. For de øvrige løperne må startpunktene forskyves.

Kan du finne ut hvor løperne i de sju banene utenfor den indre må starte i et 400 m-løp?

Starthjelp

  • Hvis du kjenner radien i en halvsirkel, hvordan kan du finne ut hvor lang halvsirkelbuen er?
  • Hvis du vet lengden av en halvsirkel, hvordan kan du finne radien?

Løsning

Omkretsen, O, av en sirkel er gitt ved likningen \(O=2\pi r\), der r er radien.
Omkretsen av en halvsirkel er da \(\pi \cdot r\).

Når de to rette strekningene skal være 85 m lange, må de to buene til sammen være 400 m – (2 ∙ 85) m = 230 m lange, og én bue må være 115 m lang.
\(\pi \cdot r= 115\\\)
\(r=\frac{115}{\pi}\\\)
\(r=36,606\)

Radien i de buede seksjonene i indre kant av indre bane skal være 36,606 m.

Siden hver bane er 1,25 m bred, vil bredden av 8 baner være 1,25 m ∙ 8 = 10 m. Så ved ytterkanten av ytre bane er radien i de buede seksjonene 36,606 m + 10 m = 46,606 m.

Bredden av hver løpebane er 1,25 m, så hver løper løper i en bane der radien er 1,25 m større enn for løperen innenfor. I bane 2 er radien 36,606 m + 1,25 m = 37,856 m. Lengden av halvsirkelen i denne banen blir 37,856 m ∙ π = 118,929 m. Det er 3,929 m lengre enn halvsirkelen i indre bane (som er 115 m lang). Så løperen i bane 2 må starte 3,929 m foran løperen i bane 1.

Vi kan lage en formel for hvor langt foran løperen i bane 1 de øvrige løperne skal starte:

Løperen i bane n skal starte foran løperen i bane 1: (36,606 m + (n – 1) ∙ 1,25 m) ∙ π – 115 m.

I 400 m-løp skal løperne gjennom begge halvsirklene på banen, så avstandene mellom løperne i et 200 m-løp må dobles.

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Dette problemet har en autentisk kontekst. Utfordringen til elevene er å beregne buelengder og å presentere det de finner, på en overbevisende måte.

Mulig tilnærming

Oppgaven kan skrives ut her. Del klassen i grupper på tre eller fire elever, og del ut oppgavearket. 

«Oppgaven er å beregne dimensjonene på den olympiske løpebanen som oppfyller alle kriteriene som er oppgitt. Dessuten må dere beregne hvor startlinjene skal plasseres i hver enkelt løpebane for 200 m-løp og 400 m-løp.»

Gi elevene god tid til å samarbeide og diskutere i gruppene. Avslutningen av arbeidet kan være at de lager en detaljert liste over avstander og vinkler som må markeres når løpebanen skal males. Dessuten må elevene forklare hvordan de har beregnet det hele.

I tillegg kan du be gruppene tegne løpebanen, for eksempel i målestokk 1 cm til 2,5 m. Da kan en sammenligne alle tegningene og vurdere om alle markeringene ble plassert riktig.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hvis de rette strekningene av banen er 85 m, hvor lang må da hver bue være? Og hvor stor radius må en da bruke?
  • Hvor mye lenger vil det være rundt bane 2 enn rundt bane 1? Hva med bane 3, bane 4 osv.?

Mulig utvidelse

I virkeligheten måles løpebanen i indre bane 30 cm utenfor indre kant, og i de øvrige banene måles løpebanen 20 cm utenfor indre linje i løpebanen. Elevene kan utfordres til å ta dette med i beregningen. Det gjør oppgaven litt mer kompleks.

Den indre svingen er skarpere enn svingene utenfor. Noen løpere regner det som en ekstra utfordring å løpe i indre bane. Kan du designe en løpebane som gjør dette problemet mindre?

Ressursen er utviklet av NRICH

Læreplankoblet
9,10