Løpebanen
Aktivitet
Tenk deg at du er med på å byggje eit nytt olympisk stadion, og at du har fått ansvaret for å designe og merkje opp løpebanen. Banen skal oppfylle desse spesifikasjonane:
- Avstanden rundt innsida av banen skal vere 400 m.
- Det skal vere 8 banar i anlegget.
- Kvar bane skal vere 1,25 m brei.
- Banen skal ha to rette strekningar som er bundne saman med to halvsirkelforma seksjonar.
- Dei rette strekningane skal vere 85 m lange. (Ei rett strekning skal utvidast ut over den bogne delen for 100 m-løp, slik figuren viser.)
Kan du rekne ut radien i dei bogne seksjonane, slik at kravet til total lengde blir oppfylt?
I 200 m-løp startar løparane i den bogne seksjonen til høgre på figuren og spring mot klokka til mållinja oppe til venstre. Sidan dei ytre løpebanane er lengre enn dei indre, må startpunkta for løparane forskyvast slik at alle spring 200 m.
Kan du finne ut kvar ein og ein løpar må starte, slik at alle åtte spring 200 m?
I 400 m-løp er startlinja og mållinja den same for løparen i den indre banen. For dei andre løparane må startpunkta forskyvast.
Kan du finne ut kvar løparane i dei sju banane utanfor den indre må starte i eit 400 m-løp?
Starthjelp
- Dersom du kjenner radien i ein halvsirkel, korleis kan du finne ut kor lang halvsirkelbogen er?
- Dersom du veit lengda av ein halvsirkel, korleis kan du finne radien?
Løysing
Omkrinsen, O, av ein sirkel er \(O=2\pi r\), der r er radien.
Omkrinsen av ein halvsirkel er då \(\pi \cdot r\).
Når dei to rette strekningane skal vere 85 m lange, må dei to bogane til saman vere 400 m – (2 ∙ 85) m = 230 m lange, og éin boge må vere 115 m lang.
\(\pi \cdot r= 115\\\)
\(r=\frac{115}{\pi}\\\)
\(r=36,606\)
Radien i dei bogne seksjonane i den indre kanten av den indre banen skal vere 36,606 m.
Sidan kvar bane er 1,25 m brei, vil breidda av 8 banar vere 1,25 m ∙ 8 = 10 m. Ved ytterkanten av den ytre banen er radien i dei bogne seksjonane 36,606 m + 10 m = 46,606 m.
Breidda av kvar løpebane er 1,25 m, så kvar løpar spring i ein bane der radien er 1,25 m større enn for løparen innanfor. I bane 2 er radien 36,606 m + 1,25 m = 37,856 m. Lengda av halvsirkelen i denne banen blir 37,856 m ∙ π = 118,929 m. Det er 3,929 m lengre enn halvsirkelen i den indre banen (som er 115 m lang). Løparen i bane 2 må difor starte 3,929 m framfor løparen i bane 1.
Vi kan lage ein formel for kor langt framfor løparen i bane 1 dei andre løparane skal starte:
Løparen i bane n skal starte framfor løparen i bane 1: (36,606 m + (n – 1) ∙ 1,25 m) ∙ π – 115 m.
I 400 m-løp skal løparane gjennom begge halvsirklane på banen, så avstandane mellom løparane i eit 200 m-løp må doblast.
Lærarrettleiing
Kvifor arbeide med denne oppgåva?
Dette problemet har ein autentisk kontekst. Utfordringa for elevane er å rekne ut bogelengder og å presentere på ein overtydande måte det dei finn ut.
Mogleg tilnærming
Oppgåva kan skrivast ut frå kopioriginalen. Del klassen i grupper på tre eller fire elevar, og del ut oppgåvearket.
«Oppgåva dykkar er å rekne ut dimensjonane på den olympiske løpebanen som oppfyller alle kriteria som er oppgitt. Dessutan må de rekne ut kvar startlinjene skal plasserast i kvar enkelt løpebane for 200 m-løp og 400 m-løp.»
Gi elevane god tid til å samarbeide og diskutere i gruppene. Avslutninga på arbeidet kan vere at dei lagar ei detaljert liste over avstandar og vinklar som må markerast når løpebanen skal målast. Dessutan må elevane forklare korleis dei har rekna alt ut.
I tillegg kan du be gruppene teikne løpebanen, for eksempel i målestokk 1 cm : 2,5 m. Då kan dei samanlikne alle teikningane og vurdere om alle markeringane vart plasserte rett.
Gode rettleiingsspørsmål
- Når dei rette strekningane på banen er 85 m, kor lang må då kvar boge vere? Kor stor radius må du då bruke?
- Kor mykje lengre vil det vere rundt bane 2 enn rundt bane 1? Korleis blir det med bane 3, bane 4 osv?
Mogleg utviding
praksis måler ein løpebanen i den indre banen 30 cm utanfor den indre kanten, og i dei andre banane måler ein løpebanen 20 cm utanfor den indre linja i løpebanen. Elevane kan gjerne ta dette med i utrekninga. Det gjer oppgåva litt meir kompleks.
Den indre svingen er skarpare enn svingane utanfor. Somme løparar reknar det som ei ekstra utfordring å springe i den indre banen. Kan du designe ein løpebane som gjer dette problemet mindre?
Ressursen er utviklet av NRICH