Produktet er et kvadrattall

Vi bruker konjugatsetningen, prøver oss litt fram og teller hvor mange primtallsfaktorer vi får:

$\begin{array}{l} ({2^2} - 1)({3^2} - 1)({4^2} - 1) \cdot\: ...\: \cdot ({8^2} - 1)\\ = (1 \cdot 3){\rm{ }}(2 \cdot 4){\rm{ }}(3 \cdot 5){\rm{ }}(4 \cdot 6){\rm{ }}(5 \cdot 7){\rm{ }}(6 \cdot 8){\rm{ }}(7 \cdot 9)\\ = (1 \cdot 3){\rm{ }}(2 \cdot 2 \cdot 2){\rm{ }}(3 \cdot 5){\rm{ }}(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3){\rm{ }}(5 \cdot 7){\rm{ }}(2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2){\rm{ }}(7 \cdot 3 \cdot 3)\\ = {2^{10}} \cdot {3^6} \cdot {5^2} \cdot {7^2}\\ = {({2^5} \cdot {3^3} \cdot 5 \cdot 7)^2} \end{array}$

Dette er et kvadrattall fordi antall ganger hvert av primtallene er faktor, er et partall. Så hvis vi lar n = 8, blir produktet et kvadrattall.

Dette er det minste tallet n som oppfyller kravet, for

• med bare to faktorer blir antall 2 og 3 oddetall
• med tre faktorer blir antall 2 og 5 oddetall
• med fire faktorer blir antall 3 og 5 oddetall
• med fem faktorer blir antall 3, 5 og 7 oddetall
• med seks faktorer blir antall 7 oddetall
• med sju faktorer blir antall ganger hvert av primtallene er faktor, er et partall.

$7\cdot9=8^2-1$

Det minste heltallet som gjør produktet til et kvadrattall er 8.