Produktet er eit kvadrattal

Vi bruker konjugatsetningen, prøver oss litt fram og tel kor mange primtalsfaktorar vi får:

$\begin{array}{l} ({2^2} - 1)({3^2} - 1)({4^2} - 1) \cdot\: ...\: \cdot ({8^2} - 1)\\ = (1 \cdot 3){\rm{ }}(2 \cdot 4){\rm{ }}(3 \cdot 5){\rm{ }}(4 \cdot 6){\rm{ }}(5 \cdot 7){\rm{ }}(6 \cdot 8){\rm{ }}(7 \cdot 9)\\ = (1 \cdot 3){\rm{ }}(2 \cdot 2 \cdot 2){\rm{ }}(3 \cdot 5){\rm{ }}(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3){\rm{ }}(5 \cdot 7){\rm{ }}(2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2){\rm{ }}(7 \cdot 3 \cdot 3)\\ = {2^{10}} \cdot {3^6} \cdot {5^2} \cdot {7^2}\\ = {({2^5} \cdot {3^3} \cdot 5 \cdot 7)^2} \end{array}$

Dette er eit kvadrattal fordi talet på gonger kvart av primtala er faktor, er eit partal. Så viss vi lèt n = 8, blir produktet eit kvadrattal.

Dette er det minste talet n som oppfyller kravet, for

• med berre to faktorar blir talet på 2 og 3 oddetal
• med tre faktorar blir talet på 2 og 5 oddetal
• med fire faktorar blir talet på 3 og 5 oddetal
• med fem faktorar blir talet på 3, 5 og 7 oddetal
• med seks faktorar blir talet på 7 oddetal
• med sju faktorar blir talet på gonger kvart av primtala er faktor, er eit partal.

$7\cdot9=8^2-1$

Det minste heiltalet som gjer produktet til eit kvadrattal er 8.