Produktet er eit kvadrattal

Stikkord: Faktorisering Kvadrattall

Problem

Kva er det minste heiltalet n som gjer produktet
\((2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)...(n^2-1)\)
til eit kvadrattal?

Tilleggsspørsmål:

  • Finnes det fleire n som gjer at produktet er eit kvadrattal? Kva blir i så fall det neste?

  • Finst det uendeleg mange?

  • Dannar dei noko mønster?

  • Lurer du på litt meir? Prøv å utforske det!

 

Starthjelp

  • Kva tal blir dei første faktorane? Faktoriser desse tala.

  • Du kan prøve å halde fram på denne måten. Då får du eit produkt av mange faktorar (som alle er primtal). Korleis kan du avgjere om eit slikt produkt blir eit kvadrattal?

Eller:

  • Vi kan bruke regelen \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
    \(2^2-1=1\cdot3\)
    \(3^2-1=2\cdot4\)
    Osb.
  • Kor mange faktorar må du ta med før du får eit tal på faktorar som blir eit kvadrattal?

 

Løysing

Du kan løyse oppgåva på fleire måtar. Kanskje du har gjort det annleis enn forslaga du finn her? På kva måte er dei like/ulike frå metoden din? Forstår du alle måtane? Kva liker du best?

Løysningsforslag

Vi bruker konjugatsetningen, prøver oss litt fram og tel kor mange primtalsfaktorar vi får:

\(\begin{array}{l} ({2^2} - 1)({3^2} - 1)({4^2} - 1) \cdot\: ...\: \cdot ({8^2} - 1)\\ = (1 \cdot 3){\rm{ }}(2 \cdot 4){\rm{ }}(3 \cdot 5){\rm{ }}(4 \cdot 6){\rm{ }}(5 \cdot 7){\rm{ }}(6 \cdot 8){\rm{ }}(7 \cdot 9)\\ = (1 \cdot 3){\rm{ }}(2 \cdot 2 \cdot 2){\rm{ }}(3 \cdot 5){\rm{ }}(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3){\rm{ }}(5 \cdot 7){\rm{ }}(2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2){\rm{ }}(7 \cdot 3 \cdot 3)\\ = {2^{10}} \cdot {3^6} \cdot {5^2} \cdot {7^2}\\ = {({2^5} \cdot {3^3} \cdot 5 \cdot 7)^2} \end{array}\)

Dette er eit kvadrattal fordi talet på gonger kvart av primtala er faktor, er eit partal. Så viss vi lèt n = 8, blir produktet eit kvadrattal.

Dette er det minste talet n som oppfyller kravet, for

  • med berre to faktorar blir talet på 2 og 3 oddetal
  • med tre faktorar blir talet på 2 og 5 oddetal
  • med fire faktorar blir talet på 3 og 5 oddetal
  • med fem faktorar blir talet på 3, 5 og 7 oddetal
  • med seks faktorar blir talet på 7 oddetal
  • med sju faktorar blir talet på gonger kvart av primtala er faktor, er eit partal.

\(7\cdot9=8^2-1\)

Det minste heiltalet som gjer produktet til eit kvadrattal er 8.

 

Ressursen er utviklet av NRICH

9,10