Læreplankoblet

LAST NED kopioriginaler

Algebra på film

Stikkord: Kvadrattall Kubikktall Visualisering Bevis

Aktivitet

Se videoen ovenfor.

Kan du beskrive hva som skjer?

Hvordan tror du videoen ville fortsatt, hvis det var flere små kuber tilgjengelig?

Kan du være sikker på at mønstrene i videoen vil fortsette?

Kan du bruke algebra til å representere mønstrene du ser?

 

Løsning

\(1^3+2^3+3^3+\:...\:+\:n^3=(1+2+3\:+\:...\:+\:n)^2=(\frac{n(1+n)}{2})^2\)

Og med sigmanotasjon:

\(\sum_\limits{i=1}^{n} i^{3} =(\sum_\limits{i=1}^{n} i)^{2} = (\frac{n(1+n)}{2})^2\)

 

Nedenfor er et bilde av \((1+2+3+4+5+6)^2\)

Thumbnail

 

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Dette problemet oppmuntrer til å visualisere en tredimensjonal ide i en todimensjonal kontekst. Videoen visualiserer summer av kubikktall og den kan lede til et bevis. Ved å utvide bildet kan induksjonsbevis introduseres.

Sørg for at elevene forstår begrepet «kubikktall». Det står for naturlige tall (positive heltall) som er opphøyd i tredje potens.

Mulig tilnærming

La utgangspunktet være at det skal bygges opp kuber av ulike størrelse ved å bruke \(1\cdot1\cdot1\)-kuber som byggesteiner.

Hvor mange byggesteiner trengs for å bygge en \(1\cdot1\cdot1\)-kube?

Hvor mange byggesteiner trengs for å bygge en \(1\cdot1\cdot1\)-kube og en \(2\cdot2\cdot2\)-kube?

Hvor mange byggesteiner trengs for å bygge en \(1\cdot1\cdot1\)-kube og en \(2\cdot2\cdot2\)-kube og en \(3\cdot3\cdot3\)-kube?

Osv.

Be elevene foreslå hvor mange byggesteiner det trengs hvis dere skulle ha fortsatt denne utvidelsen helt opp til en \(10\cdot10\cdot10\)-kube.

Ser elevene et mønster? Kan de beskrive det? Hvordan tenkte de da de foreslo svar på det siste spørsmålet?

Det er en kopieringsoriginal til et arbeidsark her.  På dette tidspunktet kan det være til hjelp å bruke dette arket. Det er også til god hjelp om elevene får eksperimentere med multilinkkuber eller lignende slik som i videoen, og det kan være nyttig å få tegne på ruteark.

Kan de finne og bevise en generell formel for de n første kubikktallene? I samarbeid (par) kan de lage illustrasjoner som støtter argumentasjonen.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hvor i figuren finner du kubikktallene?
  • Hvordan viser figuren \((1+2+3+4+5+6)^2\)?
  • Kan du tegne lignende figurer for andre summer av kubikktall fra \(1^3\) og oppover?
  • Kan du alltid tegne tilsvarende figurer, uansett hvor mange kubikktall du tar med? Hvorfor?

 

Ressursen er utviklet av NRICH

9,10