Læreplankoblet

LAST NED kopioriginaler

Algebra på film

Stikkord: Kvadrattall Kubikktall Visualisering Bevis

Aktivitet

Sjå videoen ovanfor.

Kan du beskrive kva som skjer?

Korleis trur du videoen ville ha halde fram, viss det var fleire små kubar tilgjengeleg?

Kan du vere sikker på at mønstera i videoen vil halde fram?

Kan du bruke algebra til å representere mønstera du ser?

 

Løysing

\(1^3+2^3+3^3+\:...\:+\:n^3=(1+2+3\:+\:...\:+\:n)^2=(\frac{n(1+n)}{2})^2\)

Og med sigmanotasjon:

\(\sum_\limits{i=1}^{n} i^{3} =(\sum_\limits{i=1}^{n} i)^{2} = (\frac{n(1+n)}{2})^2\)

 

Nedanfor er eit bilete av \((1+2+3+4+5+6)^2\)

Thumbnail

 

Lærarrettleiing

Kvifor arbeide med denne oppgåva?

Dette problemet oppmuntrar til å visualisere ein tredimensjonal ide i ein todimensjonal kontekst. Videoen visualiserer summar av kubikktal og han kan leie til eit bevis. Ved å utvide biletet kan induksjonsbevis introduserast.

Sørg for at elevane forstår omgrepet «kubikktal». Det står for naturlege tal (positive heiltal) som er opphøgt i tredje potens.

Mogleg tilnærming

La utgangspunktet vere at det skal byggjast opp kubar av ulike storleik ved å bruke \(1\cdot1\cdot1\)-kubar som byggjesteinar.

Kor mange byggjesteinar trengst for å byggje ein \(1\cdot1\cdot1\)-kube?

Kor mange byggjesteinar trengst for å byggje ein \(1\cdot1\cdot1\)-kube og ein \(2\cdot2\cdot2\)-kube?

Kor mange byggjesteinar trengst for å byggje ein \(1\cdot1\cdot1\)-kube og ein \(2\cdot2\cdot2\)-kube og ein \(3\cdot3\cdot3\)-kube?

Osb.

Be elevane foreslå kor mange byggjesteinar det trengst viss de skulle ha halde fram denne utvidinga heilt opp til ein \(10\cdot10\cdot10\)-kube.

Ser elevane eit mønster? Kan dei beskrive det? Korleis tenkte dei då dei foreslo svar på det siste spørsmålet?

Det er ein kopioriginal til eit arbeidsark i menyen til venstre.  På dette tidspunktet kan det vere til hjelp å bruke dette arket. Det er også til god hjelp om elevane får eksperimentere med multilinkkubar eller liknande slik som i videoen, og det kan vere nyttig å få teikne på ruteark.

Kan dei finne og bevise ein generell formel for dei n første kubikktala? I samarbeid (par) kan dei lage illustrasjonar som støttar argumentasjonen.

Gode rettleiingsspørsmål

  • Kvar i figuren finn du kubikktala?
  • Korleis viser figuren \((1+2+3+4+5+6)^2\)?
  • Kan du teikne liknande figurar for andre summar av kubikktal frå \(1^3\) og oppover?
  • Kan du alltid teikne tilsvarande figurar, same kor mange kubikktal du tek med? Kvifor?

 

Ressursen er utviklet av NRICH

9,10