Seks kuber, seks tall
Aktivitet
Målet med denne aktiviteten er å summere tallene på alle synlige sider av kubene.
Vi skal bruke seks kuber. Hver kube har seks sider med det samme tallet.
Terningene stables som en vegg med bare én kube i bredden. På bildet over er veggen til venstre bygd på riktig måte, mens den til høyre er bygd feil med to kuber i bredden. Kubene plasseres slik at de står side mot side. Summen av tallene som vises på kubene til venstre, er 70.
Oppgave 1
Begynn med å lage en vegg som er formet som en trapp, for eksempel slik:
- Hva er den høyeste summen som er mulig å få til med en slik trappeform? b) Hva er den laveste summen som er mulig å få til med en slik trappeform?
- Forklar skriftlig hvordan du kan beregne summen i oppgave a og b. Begrunn hvorfor det blir riktig.
- Lag ei trapp der summen er 75.
Oppgave 2
- Hva er den laveste summen det er mulig å lage hvis formen på veggen er valgfri?
- Hvordan kan du være sikker på at det er den laveste summen, uansett hvilken form veggen har?
- Kan du finne den laveste summen på mer enn én måte? Begrunn svaret ditt.
Oppgave 3
- Hva er den høyeste summen det er mulig å lage hvis formen på veggen er valgfri?
- Hvordan kan du være sikker på at det er den høyeste summen, uansett hvilken form veggen har?
- Kan du finne den høyeste summen på mer enn én måte? Begrunn svaret ditt.
Oppgave 4
Se for deg at kubene er plassert i et tårn, som vist på bildet under.
Forsøk å bevise denne påstanden ved å bruke logisk resonnementResonnering (resonnement) i matematikk handler om å kunne følge, vurdere og forstå matematiske tankerekker. og ikke beregning:
Uansett hvordan du plasserer kubene, er det umulig at summen blir 80.
Løsning
Oppgave 1
- Den høyeste summen det er mulig å få til, er 83. Den øverste kuben er den eneste kuben som har fem synlige sider. Kuben med tallet 6 må derfor plasseres der. De to andre kubene som danner selve trappetrinnene, har fire sider som vises. Kubene med tallene 5 og 4 må derfor plasseres der. De to kubene som er under den øverste kuben, har tre sider som vises. Kubene med tallene 3 og 2 må derfor plasseres der. Til slutt står vi igjen med den midterste kuben i den nederste rekken, som har bare to sider som vises. Der plasserer vi kuben med tallet 1:
- Den laveste summen det er mulig å få til, er 64. Vi bruker samme resonnement som løsningen i a, men setter tallene motsatt. Kuben med det laveste tallet plasserer vi da på plassen med fem synlige sider, kubene med tallene 2 og 3 på plassene med fire synlige sider, osv., slik:
- Se a og b.
- Å få til 75 kan gjøres på flere måter. En måte er å prøve seg fram, og flytte på kubene til du får 75 til sammen. Det vil kanskje bli enklere hvis vi følger resonnementet i a og b, der én plass har 5 synlige sider, to plasser har 4 synlige sider, to plasser har 3 synlige sider og én plass har 1 synlig side. Dette skal til sammen gi 75, for eksempel slik:
Oppgave 2
1) Formen som gir lavest sum er denne, med sum 60:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Grunnen til det er at denne formen har færrest synlige sider til sammen. Det kan illustreres slik:
|
4 |
3 |
4 |
|
3 |
2 |
3 |
Ved å sette kuben med høyest tall på plassen med færrest synlige sider, kuben med nest høyest tall på plassen med nest flest synlige sider, osv. vil summen bli 60.
3) Det finnes mange forskjellige løsninger som også gir 60 i sum, fordi det er flere plasser som har like mange synlige sider. Kubene kan derfor flyttes rundt uten at den totale summen endres.
Oppgave 3
1) Formen som gir høyest sum, er tårnet med sum 90.
2) Grunnen til det er at denne formen har flest synlige sider til sammen. Det kan illustreres slik:
| 5 |
| 4 |
| 4 |
| 4 |
| 4 |
| 4 |
Kuben med tallet 6 settes på toppen, og resten fordeles på plassene under.
3) Det er mulig å flytte på alle kubene under den øverste fordi alle de plassene har like mange synlige sider. Vi kan derfor flytte kubene rundt som vi vil.
Oppgave 4
Påstanden er sann. Det kan vi forklare på flere måter ved å bruke samme resonnement som i oppgave 3b. Nedenfor er det to forklaringer.
Her er et vertikalt tårn med kubene. Antallet synlige sider er skrevet inn.
| 5 |
| 4 |
| 4 |
| 4 |
| 4 |
| 4 |
Forklaring 1
Vi kan vise at det er umulig å lage summen 80 ved å lage minst mulig sum. Da setter vi kuben med tallet 1 på toppen (hvorfor?) og fordeler de andre tallene under, ettersom plasseringen av de andre kubene ikke spiller noen rolle. Da får vi følgende regnestykke:
5∙1+4(2+3+4+5+6)=5+4∙20=85
Forklaring 2
I oppgave 3a fant vi ut at den høyeste summen det er mulig å lage med et slikt vertikalt tårn, er 90. Ettersom det er bare den øverste kuben som har fem synlige sider, og resten av kubene har fire synlige sider, er det bare tallet på den øverste kuben som vil påvirke summen. Med 6 på den øverste kuben får vi 90, som er den høyest mulige summen. Med 1 på den øverste kuben så vi ovenfor at summen blir 85. Dette er den lavest mulige summen. Med andre tall på den øverste kuben blir summen et tall mellom 85 og 90. Så uansett hvordan vi plasserer kubene i tårnet, kan ikke summen bli 80.
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne oppgaven?
Denne aktiviteten gir elevene mulighet til å bruke kunnskap og ferdigheter de har utviklet fra før, knyttet til romforståelse, addisjon og multiplikasjon, og til å forklare hvordan de tenker. I tillegg må de forholde seg til reglene som er satt. Videre gir aktiviteten muligheter til stor variasjon av problemløsningsstrategier etter hvert som elevene kommer lengre ut i oppgaven. Aktiviteten legger også til rette for at elevene kan danne seg hypoteser underveis og stille spørsmål som: «Jeg lurer på hva som skjer hvis …»
Mulig tilnærming
Vis elevene hvordan reglene fungerer. Demonstrer gjerne med noen kuber hvordan de ulike veggene skal bygges.
La elevene arbeide i grupper på tre elever, og la hver gruppe få et sett med kuber (seks kuber med tallene 1–6. NB! Bare ett tall på hver kube, samme tall på alle sidene). Etter hver av de fire oppgavene kan det være hensiktsmessig å stoppe opp litt og la gruppene dele det de har kommet fram til. Deling av ideer, strategier og løsninger kan bidra til dypere forståelse og bedre matematisk språk for dem som deler. I tillegg kan slik deling føre til at de andre gruppene får innsikt i nye ideer og strategier.
Gode veiledningsspørsmål
• Hvordan fant du summen?
• Hvordan kom du fram til denne måten å gjøre det på?
• Fortell om formen på veggen.
• Hvor sikker er du på at …?
Ressursen er utviklet av NRICH