Alise og Karl vil vite hvor mange faktorer det er i 360.
Hvordan vil dere finne det ut?
Alise har prøvd å dividere 360 med hvert tall fra 1 og oppover. Så har hun skrevet faktorene som tallpar for alle divisjonene som gikk opp.
\((1,\:360)\\ (2,\:180)\\ (3,\:120)\\ (4,\:90)\\ (5,\:72)\\ (6,\:60)\\ (8,\:45)\\ (9,\:40)\\ (10,\:36)\\ 12,\:30)\\ (15,\:24)\\ (18,\:20)\\\)
"Jeg kan slutte her, for neste mulige faktor blir 20, og den har jeg allerede. Så der er i alt 24 mulige faktorer i 360."
Karl begynte med å finne primtallsfaktorene i 360.
\(\quad360\\ =2\cdot180\\ =2\cdot2\cdot90\\ =2\cdot2\cdot2\cdot45\\ =2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot15\\ =2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\\ =2^3\cdot3^2\cdot5 \)
Så laget han en tabell for å finne alle mulige kombinasjoner av disse primtallsfaktorene:
| \(2^0\) | \(3^0\) | \(5^0\\5^1\) |
| \(3^1\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(3^2\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(2^1\) | \(3^0\) | \(5^0\\5^1\) |
| \(3^1\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(3^2\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(2^2\) | \(3^0\) | \(5^0\\5^1\) |
| \(3^1\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(3^2\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(2^3\) | \(3^0\) | \(5^0\\5^1\) |
| \(3^1\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(3^2\) | \(5^0\\5^1\) |
Her vil den øverste "greina" gi \(2^0\cdot3^0\cdot5^0=1,\) ellevte linje vil gi \(2^1\cdot3^2\cdot5^0=18,\) osv.
Når Alise ser Karls metode, sier hun: «Det må være mange tall som har nøyaktig 24 faktorer!»
Karl og Alise finner flere tall som må ha nøyaktig 24 faktorer. Kan dere se hvorfor tallene nedenfor vil ha 24 faktorer?
\(\begin{align}25\:725&=5^2\cdot3^1\cdot7^3\\ 217\:503&=11^1\cdot13^3\cdot3^2\\ 312\:500&=5^7\cdot2^2\\ 690\:625&=17^1\cdot13^1\cdot5^5\\ 94\:143\:178\:827&=3^{23} \end{align}\)
Tenk over disse spørsmålene:
Flere utfordringer:
\(25\:725=5^2\cdot3^1\cdot7^3\)
I dette produktet ser vi at 5 kan være faktor 0, 1 eller 2 ganger, og disse tre mulighetene skal kombineres med 3, som kan være med 0 eller 1 gang. Dette blir 6 ulike kombinasjoner, som igjen skal kombineres med 7, som kan være faktor 0, 1, 2 eller 3 ganger.
Vi kan se på eksponentene til primtallsfaktorene for å finne antall faktorer i 25 725:
\((2+1)\cdot(1+1)\cdot(3+1)=24\)
Et tall med 14 faktorer: \(14=1\cdot14\) og \(14=2\cdot7\). Da kan vi lage produkter med to ulike primtall, for eksempel
\(\begin{align} {2^0} \cdot {3^{13}} &= 1\:594\:323\\ {2^1} \cdot {3^6} &= 1458 \end{align}\)
\((den\:ene\:eksponenten+1)\cdot(den\:andre\:eksponenten+1)=14 \)
Det minste tallet med 14 faktorer er: \(2^6\cdot3^1=192\)
\(15=1\cdot15\) og \(15=3\cdot5\). Et tall med 15 faktorer må altså bestå av to primtallsfaktorer med eksponenter 2 og 4 eller bare en primtallsfaktor med eksponent 14. Det minste tallet med 15 faktorer er \(2^4\cdot3^2=144.\:(2^{14}=16\:384,\) så det er ikke størst).
\(18=1\cdot18=2\cdot9=3\cdot6=2\cdot3\cdot3\)
Det minste tallet med 18 faktorer finner vi å velge lavest mulig tall for både primtallsfaktorer og eksponenter. Vi får de laveste tallene som eksponenter om vi velger å se på \(18=2\cdot3\cdot3\).
Da vil eksponentene bli henholdsvis 1, 2 og 2. De tre laveste primtallene er 2, 3 og 5, så det laveste tallet med 18 faktorer er:
\(2^2\cdot3^2\cdot5=180.\\ (Kontroll:2^5\cdot3^2=288,\:\:2^8\cdot3^1=768,\:\:2^17=131\:072)\)
Det er bare kvadrattall som har et oddetalls antall faktorer. I kvadrattallene vil alle faktorer forkomme et partalls ganger. Hvis vi legger 1 til hver eksponent for å finne antall kombinasjoner, ser vi at dette antallet blir et produkt av oddetall, som igjen er et oddetall.
\(100=2\cdot2\cdot5\cdot5\)
Det minste tallet med 100 faktorer er \(2^4\cdot3^4\cdot5^1\cdot7^1\)
840 er det tallet under 1000 som har flest faktorer:
\(2\cdot3\cdot5\cdot7=210<1000,\)mens \(2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11=2310>1000.\) Så vi kan bare bruke primtallsfaktorene 2, 3, 5 og 7. Alle disse tallene går opp i 840.
\(2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot7=210\cdot7=1470>1000\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot5=210\cdot5=1050>1000\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot3=630\cdot3=630<1000\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot2^2=210\cdot2^2=840<1000\\\)
Faktorene 5 og 7 kan være med bare én gang. 3 kan være med inntil to ganger eller 2 kan være med inntil tre ganger.
Vi får flest faktorer hvis vi bruker flest 2-ere:
\(2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot2^2=2^3\cdot3\cdot5\cdot7=840\)
Dette tallet har \((3+1)(1+1)(1+1)(1+1)=32\) faktorer.
Hvis vi bare bruker primtallsfaktorene 2, 3 og 5, får vi:
\(2\cdot3\cdot5=30\\ 2\cdot3\cdot5\cdot2^5=2^6\cdot3\cdot5=960<1000\:og\:2\cdot3\cdot5\cdot2^6=1920>1000\)
960 har 28 faktorer. Dette er tallet under 1000 med flest faktorer hvis vi bruker bare 2, 3 og 5.
Vi prøver med bare primtallsfaktorene 2 og 3:
\(2^8\cdot3=768<1000\:og\:2^9\cdot3=1536>1000\)
768 har 18 faktorer.
\(2^9=512<1000\:og\:2^{10}=1024>1000\)
512 har 10 faktorer.
I denne oppgaven skal elevene undersøke kraften i å bruke primtallsfaktorisering som representasjon for et tall.
Be elevene finne ut hvor mange faktorer noen tall har, la gjerne 360 være ett av tallene. (Å kjenne faktorene i 360 kommer også til nytte når vi regner med vinkler i regulære polygoner.)
Når elevene er kommet i gang, skal de fortelle hverandre om strategiene de bruker. De fleste vil sannsynligvis liste opp faktorpar (slik som Alise i oppgaven). Få fram ulike strategier, be elevene spesielt forklare hva de gjør for å arbeide systematisk, og hvordan de vet når de kan stoppe undersøkelsene.
Hvis ingen har funnet primtallsfaktorene i 360 og et system for å se hvor mange faktorer de ulike kombinasjonene av primtallsfaktorer vil gi, kan dere se på Karls metode, med en form for trediagram eller tabell som hjelp til å telle antallet faktorer. Diskuter hvordan denne oppstillingen er å forstå.
Deretter kan elevene diskutere hvor mange faktorer det finnes i følgende eksempler:
\(\begin{align}25\:725&=5^2\cdot3^1\cdot7^3\\ 217\:503&=11^1\cdot13^3\cdot3^2\\ 312\:500&=5^7\cdot2^2\\ 690\:625&=17^1\cdot13^1\cdot5^5\\ 94\:143\:178\:827&=3^{23} \end{align}\)
Så snart elevene ser at Karls metode kan gjøre problemene ovenfor lette å løse, kan de få flere utfordringer:
For noen kan det være lettere å forstå problemet hvis de ser at det handler om å finne ut hvor mange ulike rektangler de kan lage med heltallige sider der arealet blir 360. Det kan være en hjelp å begynne å tegne. Så gjelder det å finne et system for å tenke seg til de ulike løsningene uten å tegne.
Dette og lignende spørsmål kan undersøkes med blyant og papir, eller det kan gi elevene anledning til å arbeide med regneark og programmering.
Ressursen er utviklet av NRICH