25725=52⋅31⋅73
I dette produktet ser vi at 5 kan vere faktor 0, 1 eller 2 gonger, og desse tre moglegheitene skal kombinerast med 3, som kan vere med 0 eller 1 gong. Dette blir 6 ulike kombinasjonar, som igjen skal kombinerast med 7, som kan vere faktor 0, 1, 2 eller 3 gonger.
Vi kan sjå på eksponentane til primtalsfaktorane for å finne kor mange faktorar det er i 25 725:
(2+1)⋅(1+1)⋅(3+1)=24
Eit tal med 14 faktorar: 14=1⋅14 og 14=2⋅7. Då kan vi lage produkt med to ulike primtal, for eksempel
20⋅313=159432321⋅36=1458
(deneineeksponenten+1)⋅(denandreeksponenten+1)=14
Det minste talet med 14 faktorar er: 26⋅31=192
15=1⋅15 og 15=3⋅5. Eit tal med 15 faktorar må altså bestå av to primtalsfaktorar med eksponentar 2 og 4, eller berre ein primtalsfaktor med eksponent 14. Det minste talet med 15 faktorar er 24⋅32=144.(214=16384, så det er ikkje størst).
18=1⋅18=2⋅9=3⋅6=2⋅3⋅3
Det minste talet med 18 faktorar finn vi ved å velje lågast mogleg tal for både primtalsfaktorar og eksponentar. Vi får dei lågaste tala som eksponentar dersom vi veljer å sjå på 18=2⋅3⋅3.
Då vil eksponentane bli høvevis 1, 2 og 2. Dei tre lågaste primtala er 2, 3 og 5, så det lågaste talet med 18 faktorar er:
22⋅32⋅5=180.(Kontroll:25⋅32=288,28⋅31=768,217=131072)
Det er berre kvadrattal som har eit oddetal faktorar. I kvadrattala vil alle faktorar finnast eit partal gonger. Dersom vi legg 1 til kvar eksponent for å finne kor mange kombinasjonar det blir, ser vi at antalet blir eit produkt av oddetal, som igjen er eit oddetal.
100=2⋅2⋅5⋅5
Det minste talet med 100 faktorar er 24⋅34⋅51⋅71
840 er det talet under 1000 som har flest faktorar:
2⋅3⋅5⋅7=210<1000, medan 2⋅3⋅5⋅7⋅11=2310>1000. Så vi kan berre bruke primtalsfaktorane 2, 3, 5 og 7. Alle desse tala går opp i 840.
2⋅3⋅5⋅7⋅7=210⋅7=1470>10002⋅3⋅5⋅7⋅5=210⋅5=1050>10002⋅3⋅5⋅7⋅3=630⋅3=630<10002⋅3⋅5⋅7⋅22=210⋅22=840<1000
Faktorane 5 og 7 kan vere med berre éin gong. 3 kan vere med inntil to gonger, og 2 kan vere med inntil tre gonger.
Vi får flest faktorar dersom vi bruker flest 2-arar:
2⋅3⋅5⋅7⋅22=23⋅3⋅5⋅7=840
Dette talet har (3+1)(1+1)(1+1)(1+1)=32 faktorar.
Dersom vi berre bruker primtalsfaktorane 2, 3 og 5, får vi:
2⋅3⋅5=302⋅3⋅5⋅25=26⋅3⋅5=960<1000og2⋅3⋅5⋅26=1920>1000
960 har 28 faktorar. Dette er talet under 1000 med flest faktorar dersom vi bruker berre 2, 3 og 5.
Vi prøver med berre primtalsfaktorane 2 og 3:
28⋅3=768<1000og29⋅3=1536>1000
768 har 18 faktorar.
29=512<1000og210=1024>1000
512 har 10 faktorar.