I enhetsintervallet
Problem
Velg to tilfeldige tall mellom 0 og 1. Vis at summen av disse tallene alltid er mindre enn 1 pluss produktet av tallene. Det vil si:
La 0<x<1 og 0<y<1.
Vis at da er x+y<1+xy.
Starthjelp
Merk at ulikheten x+y<1+xy er ekvivalentMan sier at to påstander P og Q er ekvivalente hvis følgende er sant: 1) Hvis P er sann, må også Q være sann. 2) Hvis Q er sann, må også P være sann. Vi skriver P⇔Q , som leses P er ekvivalent med Q . Eksempel: "Hvis Ida er i Frankrike, er hun i Europa" er ekvivalent med "hvis Ida ikke er i Europa, er hun ikke i Frankrike" med xy–x–y+1>0.
Løsning
Vi begynner med den gitte ulikheten og skriver den på en form som hjelper oss å vise at påstanden stemmer:
x+y<1+xyxy–x–y+1>0x(y–1)–(y–1)>0(x–1)(y–1)>0
Hvis både x og y ligger mellom 0 og 1, vil både x – 1 < 0 og y – 1 < 0 for alle mulige verdier av x og y. Det betyr at produktet av de to faktorene alltid blir positivt, og at ulikheten er sann.
Alternativ løsning:
Vi vet at 0<1–x<1
Siden 0<y<1, vil y(1–x)<1–x
Vi får y–xy<1–x
Dermed blir x+y<1+xy
Ressursen er utviklet av NRICH