I einingsintervallet

Stikkord: Ulikheter

Problem

Vel to tilfeldige tal mellom 0 og 1. Vis at summen av desse tala alltid er mindre enn 1 pluss produktet av tala. Det vil seie:

La 0<x<1 og 0<y<1.

Vis at då er x+y<1+xy.

 

Starthjelp

 

Merk at ulikskapen x+y<1+xy er ekvivalentEin seier at to påstandar P og Q er ekvivalente viss følgjande er sant: 1) Viss P er sann, må også Q vere sann. 2) Viss Q er sann, må også P vere sann. Vi skriv P⇔Q , som blir lese P er ekvivalent med Q . Døme: "Viss Ida er i Frankrike, er ho i Europa" er ekvivalent med "viss Ida ikkje er i Europa, er ho ikkje i Frankrike". med xy – x – y + 1 > 0.

 

Løysing

Vi starter med den gitte forskjellen og skriv han på ei form som hjelper oss å vise at påstanden stemmer:

x + y < 1 + xy \\ \\ xy – x – y + 1 > 0 \\ x (y – 1) – (y – 1) > 0\\ (x – 1) (y – 1) > 0\\

Viss både x og y ligg mellom 0 og 1, vil både x – 1 < 0 og y – 1 < 0 for alle moglege verdiar av x og y. Det betyr at produktet av dei to faktorane alltid blir positivt, og at forskjellen er sann.

Alternativ løysing:

Vi veit at                          0 < 1 – x < 1

Sidan 0 < y < 1, vil     y (1 – x) < 1 – x

Vi får                               y – xy < 1 – x

Dermed blir                   x + y < 1 + xy

 

Ressursen er utviklet av NRICH

10