Løsningsforslag 1
Vi ser at
\(\quad{n^5} - n \\ = n({n^4} - 1) \\ = n({n^2} - 1)({n^2} + 1) \\ = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) \cdot ({n^2} + 1)\)
Siden produktet inneholder tre faktorer som er tre påfølgende tall, vil både 2 og 3 alltid være faktorer i produktet.
Hvis ingen av disse tre tallene er delelige med 5, vil vi ha enten n = 5k + 2 eller n = 5k + 3, der k er et helt tall. (Hvorfor?) I begge disse tilfellene vil \(n^2 + 1\) være delelig med 5:
\(\begin{array}{l} {(5k + 2)^2} + 1 = 25{k^2} + 20k + 4 + 1 = 25{k^2} + 20k + 5\\ {(5k + 3)^2} + 1 = 25{k^2} + 30k + 9 + 1 = 25{k^2} + 30k + 10 \end{array}\)
Siden 2, 3 og 5 er primtall, og alle går opp i tallene i den gitte følgen, vil 2 · 3 · 5 = 30 være faktor i alle \(n^5 - n\).
Det andre leddet i følgen er \(2^5 - 2=30\), så 30 må være det største tallet som går opp i alle ledd i følgen.
