Læreplankoblet

Felles divisor

Problem

Finn det største heiltalet som går opp i alle tala i følgja

151,252,353,...,n5n.


Tilleggsspørsmål:

Kan du finne fleire algebraiske uttrykk der det er mogleg å seie noko om eit største tal som alle tal på den forma er deleleg med?

Korleis kan du designe slike uttrykk?

 

Løysing

Løysingsforslag 1

Vi ser at

n5n=n(n41)=n(n21)(n2+1)=(n1)n(n+1)(n2+1)

Sidan produktet inneheld tre faktorar som er tre etterfølgjande tal, vil både 2 og 3 alltid vere faktorar i produktet.

Viss ingen av desse tre tala er delelege med 5, vil vi ha anten n = 5k + 2 eller n = 5k + 3, der k er eit heilt tal. (Kvifor?) I begge desse tilfella vil … vere deleleg med 5:

(5k+2)2+1=25k2+20k+4+1=25k2+20k+5(5k+3)2+1=25k2+30k+9+1=25k2+30k+10
 
Sidan 2, 3 og 5 er primtal, og alle går opp i tala i den gitte følgja, vil 2 · 3 · 5 = 30 vere faktor i alle n5n.

Det andre leddet i følgja er 252=30, så 30 må vere det største talet som går opp i alle ledd i følgja.

Løysingsforslag 2

Løsningsforslag 2
Trykk på biletet for å gjere det større.

Løysingsforslag 3

Løsningsforslag 3
Trykk på biletet for å gjere det større.

 

Ressursen er utviklet av NRICH

10