Læreplankoblet

Irrasjonale aritmagoner

Stikkord: Irrasjonale tall Generalisering Symbolmanipulasjon

Aktivitet

Det anbefales at man har arbeidet med aktiviteten Multiplikasjons-aritmagoner før man prøver seg på irrasjonaleIrrasjonale tall er reelle tall som ikke er heltall eller brøker, det vil si tall som ikke kan uttrykkes som forhold mellom heltall. Når et irrasjonalt tall skrives som et desimaltall, inneholder tallet uendelig mange desimaler, og desimalutviklingen er ikke periodisk, det vil si at desimalene ikke gjentar seg.-aritmagoner.

I Multiplikasjons-aritmagon var tallene på sidene produktet av tallene i hjørnene. Gitt at vi bruker de samme reglene, kan du finne ut hvilke tall som må stå i sirklene på figuren under for at multiplikasjons-aritmagonen skal bli riktig?

Thumbnail

Hvis du ikke er helt sikker på hvor du skal begynne, kan du trykke på hintene under:
 

Hint 1

Hver av sirklene er på formen \(a+b\sqrt2\) med verdier for \(a\) og \(b\)

Hint 2

Generelt kan multiplikasjons-aritmagoner løses ved hjelp av multiplikasjon, divisjon og kvadratrøtter.

Hint 3

Å dividere et uttrykk med \(a+b\sqrt2\) er det samme som å si "hva må jeg multiplisere med \(a+b\sqrt2\) for å få uttrykket?"

Hint 4

For å beregne kvadratrota til et uttrykk, for eksempel \(12-8\sqrt2\), vurder ligningen \((x+y\sqrt2)^2=12-8\sqrt2\), utvid parentesene og utled x og y.

 

Starthjelp

  • Begynn med aktiviteten Multiplikasjons-aritmagoner.
  • Når du har funnet ut av strukturen i multiplikasjons-aritmagon, kan du finne en generell metode for å løse slike aritmagoner?
  • Gjør den irrasjonaleIrrasjonale tall er reelle tall som ikke er heltall eller brøker, det vil si tall som ikke kan uttrykkes som forhold mellom heltall. Når et irrasjonalt tall skrives som et desimaltall, inneholder tallet uendelig mange desimaler, og desimalutviklingen er ikke periodisk, det vil si at desimalene ikke gjentar seg. formen noe med metoden din?

 

Løsning

Vi kan se på dette generelt ved å la x, y og z være hjørnene, og A, B og C være sidene. A, B og C er produkt av xy, xz og yz.

\(A=xy,\: B=yz,\: C=xz\)

Thumbnail

  

\(xy=7+7\sqrt2\quad\qquad yz=2-4\sqrt2\quad\qquad xz=-6+2\sqrt2\)
 

\(xy\cdot xz=(7+7\sqrt2)(-6+2\sqrt2)\\ x^2(yz)=-42+14\sqrt2-42\sqrt2+28\\ =-14-28\sqrt2 \\ x^2(2-4\sqrt2) = -(14+28\sqrt2)\\ x^2=\frac{-(14+28\sqrt2)}{2-4\sqrt2}\\ x^2=\frac{-14(1+2\sqrt2)}{2(1-2\sqrt2)}\\ x^2=\frac{-7(1+2\sqrt2)^2}{(1-2\sqrt2)(1+2\sqrt2)}\\x^2 =\frac{-7(1+2\sqrt2)^2}{1-8}\\ x^2=(1+2\sqrt2)^2\\ x=\pm(1 +2\sqrt2) \)
 

Vi setter først inn den positive verdien for x for å finne z og y:

\( xz=-6+2\sqrt2\\ z=\frac{-6+2\sqrt2}{1+2\sqrt2}\\ z=\frac{(-6+2\sqrt2)(1-2\sqrt2)}{1-8}\\ z=\frac{-6+12\sqrt2+2\sqrt2-8}{-7}\\ z=\frac{-14+14\sqrt2}{-7} \\ z= 2-\sqrt2 \)

 

\( xy=7+7\sqrt2\\ y=\frac{7+7\sqrt2}{1+2\sqrt2}\\ y=\frac{(7+7\sqrt2)(1-2\sqrt2)}{1-8}\\ y=\frac{7-14\sqrt2+7\sqrt2-28}{-7}\\ y=\frac{-21-7\sqrt2}{-7}\\ y=3+\sqrt2\\ \)

Ovenfor har vi regnet med den positive løsningen for x for å finne y og z. Vi vet at x også har en negativ løsning, som gir \(y=-(3+\sqrt2)\text{ og }z=-(2-\sqrt2)\).

Vi får altså to sett med løsninger, avhengig av om vi bruker positiv eller negativ x-verdi. Løsningssettene kan også framstilles slik:
 

Løsning med positiv x-verdi:

Thumbnail

 

Løsning med negativ x-verdi:
 

Thumbnail

 

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Med denne aktiviteten får elevene trening i symbolmanipulasjon. I tillegg må de sette seg godt inn i problemets struktur for å finne en mulig løsningsstrategi.

Mulig tilnærming

Denne aktiviteten bygger på multiplikasjons-aritmagoner, som det er veldig verdifullt å arbeide med før elevene begynner med irrasjonal-aritmagoner. Strategien som elevene utvikler i multiplikasjons-aritmagoner, kan de bygge videre på i irrasjonal-aritmagoner, som også vil gi dem større forståelse av kraften bak generalisering.

Når elevene har kommet fram til generelle regler for hvordan de løser multiplikasjons-aritmagoner, kan de forsøke å løse irrasjonal-aritmagoner på samme måte. Det vil generere mange viktige poeng som de bør få mulighet til å diskutere:

  • Hvilken form har produktet til \((a+b\sqrt2) \: \rm{og} \:(c+d\sqrt2)\)?
  • Hvordan kan vi dividere \((a+b\sqrt2)\: \rm{med} \:(c+d\sqrt2)\)?
  • Hvordan kan vi beregne kvadratrota av et uttrykk på formen \(a+b\sqrt2\)?

Gode veiledningsspørsmål

  • Hva er sammenhengen mellom produktet av tallene på sidene og produktet av tallene i hjørnene?
  • Gitt at vi har hjørnene A, B og C i en multiplikasjonsaritmagon, hvordan kan vi uttrykke tallene på sidene?
  • Hva kan du si om formen på produktet hvis du multipliserer to tall på formen \(a+b\sqrt c\)?

Mulig utvidelse

  • Er løsningen du har funnet unik? Finnes det flere løsninger?

  • Vil du alltid få en gyldig løsning uansett hvilke tall du plasserer på sidene i en multiplikasjonsaritmagon?
  • Er det mulig å lage aritmagoner der noen eller alle tallene i hjørnene er irrasjonale og alle tallene på sidene er rasjonale?

Mulig støtte

Bruk først mye tid på utvikle strategier i aktiviteten Multiplikasjons-aritmagoner. Deretter kan du gi elevene noen irrasjonale-aritmagoner med enkle uttrykk for at de skal kunne forstå konseptet med formen.

 

Ressursen er utviklet av NRICH

9,10