Tallsmørbrød
Aktivitet
På bildet under ser du en rekke med tall som danner flere tallsmørbrød. Et tallsmørbrød er tall som klemt inn mellom to like siffer. For eksempel er det tre tallsmørbrød på bildet under. Det er et ettallssmørbrød mellom ettallene, et totallssmørbrød mellom totallene og et ettallssmørbrød mellom tretallene.
Er det mulig å lage en rekke med tall som består av et ettallssmørbrød mellom ettallene, et totallssmørbrød mellom totallene og et tretallssmørbrød mellom tretallene?
Du kan bruke det interaktive verktøyet under hvis du synes det er vanskelig.
Finnes det mer enn én løsning?
Kan du lage en tallrekke med 1,1, 2,2, 3,3 og 4,4 som har tallsmørbrød på samme måte?
Du kan bruke det interaktive verktøyet under hvis du synes det er vanskelig.
Tallsmørbrød 1-4
Finnes det mer enn én løsning?
Er det mulig å lage tallrekker som har tallsmørbrød med tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7?
Kan du finne en løsning?
Du kan bruke tallkort eller det interaktive verktøyet under.
Tallsmørbrød 1-7
Klikk her for å se en mulig løsning.
Har du laget samme løsning?
Hvor mange løsninger greier du å lage?
Kan du finne alle?
Hvordan kan du være sikker på at du har alle løsningene?
Er det mulig å lage tallrekker som har tallsmørbrød med tallene 1, 2, 3, 4 og 5?
Tallsmørbrød 1-5
Hint - tallsmørbrød 1-5
Tenk deg at vi fargelegger rutene slik at annenhver rute er rød og annenhver er blå.
- Hvor mange ruter må du bruke for å lage tallsmørbrød med 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5?
- Hvor mange røde og hvor mange blå ruter må du bruke?
- Hvilke farger kan tallsmørbrødet til 1-1 ha?
- Og hvilke farger kan tallsmørbrødet til 2-2 ha?
- Hvilke farger må du bruke til alle talsmørbrødene samlet?
- Blir det forskjell om du starter på rød eller på blå rute?
Klarer du å lage tallrekker som har tallsmørbrød med tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6?
Tallsmørbrød 1-6
- Har du funnet ut om du kan lage tallsmørbrød me dtallene 1, 2, 3, 4 og 5?
- Var det mulig eller var det umulig?
- Hva gjorde at det var mulig eller umulig å lage et slikt smørbrød?
- Kan du resonnere på samme måte når du skal bruke tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6?
Starthjelp
Bruk kortene når du forsøker å finne en løsning. Du kan begynne med å plassere tallsmørbrødet som skal lages av tretallene, og deretter prøve å plassere de to andre tallsmørbrødene.
Løsning
Her er noen mulige løsninger:
Tallfølger med 1-1, 2-2, 3-3:
2 3 1 2 1 3 3 1 2 1 3 2
Tallfølger med 1-1, 2-2, 3-3, 4-4:
4 1 3 1 2 4 3 2 2 3 4 2 1 3 1 4
Løsningene til de to følgene ovenfor er symmetriske. Det vil si at rekkefølgen er den samme om du leser fra venstre til høyre i den første løsningen i følgene og fra høyre til venstre i den andre løsningen. Vil du si at dette er forskjellige løsninger?
Tallfølger med 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6, 7-7:
5 7 2 3 6 2 5 3 4 7 1 6 1 4
4 6 1 7 1 4 5 2 6 3 2 7 5 3
1 5 1 7 3 4 6 5 3 2 4 7 2 6
4 5 6 7 1 4 1 5 3 6 2 7 3 2
1 5 1 6 7 2 4 5 2 3 6 4 7 3
1 7 1 2 6 4 2 5 3 7 4 6 3 5
Når det gjelder tallrekker med 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, bruker vi bildet med røde og blå ruter for å forklare hva som skjer:
Tallrekker med 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5 må legges ut over 10 ruter etter hverandre. Hvis annenhver rute er rød og annenhver er blå, må vi bruke 5 røde og 5 blå ruter.
Oversikt over mulige kombinasjoner i rutene vi bruker (R er rød rute, B er blå rute):
| 1 - 1 | RR | RR | RR | BB | BB | BB |
| 2 - 2 | RB | RB | RB | RB | RB | RB |
| 3 - 3 | RR | RR | BB | BB | BB | RR |
| 4 - 4 | RB | RB | RB | RB | RB | RB |
| 5 - 5 | RR | BB | BB | BB | RR | RR |
| Sum | 8R 2B | 6R 4B | 4R 6B | 8B 2R | 4R 6B | 6R 4B |
Vi ser at for partallene bruker vi alltid en rute av hver farge. Men vi for oddetallene må bruke to ruter av samme farge.
I dette tilfellet har vi tre oddetall. Det er umulig å legge tallbrikker i like mange røde og blå ruter hvis vi har tre oddetall. Hvis vi prøver å fordele 1 – 1, 3 – 3 og 5 – 5 på både blå og røde ruter, kan vi bruke 4R 2B eller 2R 4B, men vi får aldri 3R 3B.
Det blir tilsvarende om vi prøver å lage tallsmørbrød med tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6.
Her er det tre partall. De vi dekke 3 røde og 3 blå ruter uansett hvor vi legger dem. Men vi har også her tre oddetall som gjør det umulig å bruke like mange røde som blå ruter. Så på samme måte som det ble umulig å legge slike tallsmørbrød for tallene 1, 2, 3, 4 og 5, blir det umulig om også 6 er med.
Tenk over:
Hvor mange oddetall er det i tallrekkene 1,2? Enn i 1,2,3? Enn i 1, 2, 3, 4? Og i 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? Stemmer det med resonnementet ovenfor?
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne oppgaven?
Denne aktiviteten er en spennende utfordring for elevene på flere nivåer, og oppgaven i seg selv engasjerer dem til å finne løsninger.
Aktiviteten er spesielt verdifull fordi den gir elevene mulighet til å arbeide med argumentasjon og forklare hvorfor noe er mulig eller ikke.
Fordi det er mange måter å lage rekker med sju og åtte tallsmørbrød på, gir det elevene mulighet til å finne sin egen unike løsning, annerledes enn de som har blitt funnet tidligere.
Mulig tilnærming
Det kan være til stor hjelp for elevene å ha tallkortene å arbeide med. Ha kortene klar for elevene og/eller PC eller nettbrett så de kan benytte seg av det interaktive verktøyet.
Start med å introdusere problemet med tallene 1-1, 2-2, 3-3, og vis tallrekken på bildet under:
Denne tallrekken danner flere tallsmørbrød. Et tallsmørbrød er tall som klemt inn mellom to like siffer. For eksempel er det tre tallsmørbrød på bildet over. Det er et ettallssmørbrød mellom ettallene, et totallssmørbørd mellom totallene og et ettallssmørbrød mellom tretallene.
Er det mulig å lage en rekke med tall som består av et ettallssmørbrød mellom ettallene, et totallssmørbrød mellom totallene og et tretallssmørbrød mellom tretallene?
Sett sammen elevpar eller små grupper på tre, og gi dem god tid til å arbeide med problemet. Når de har funnet alle løsningene, kan de lage tallrekker med 1-4, 1-7, 1-8. Be dem om å holde styr på løsningene sine og hvordan de fant dem.
Når elevene har arbeidet en stund og funnet flere løsninger, kan de samles i plenum for å dele løsningene sine med hverandre. Fokuser på følgende spørsmål:
- Kan du lage en tallrekke med tallsmørbrød av tallene 1,1, 2,2?
Hvorfor / hvorfor ikke? - Er alle tallrekkene identiske, bare sett fra ulike vinkler?
- Hvor mange forskjellige tallrekker kan du lage med 1-3? Med 1-4?
- Greide noen å finne en tallrekke med 1-7?
Fant noen en som er annerledes? - Fant noen en tallrekke med 1-8?
For elever som har laget alle tallsmørbrødene, kan det være en utfordring å prøve på tallsmørbrød med tallene 1 – 5. Går det an å lage tallsmørbrød med disse tallene? Hvis det ikke går an, hvorfor ikke? De kan få det hintet oppgaven gir: Plassere tallene i et rutenett der annenhver rute er rød og annenhver er blå.
Hvis de finner en god forklaring på hvorfor det er umulig å lage tallsmørbrød med tallene 1 – 5, kan de bruke samme resonnement på tallsmørbrød med tallene 1 – 6?
Mulig støtte
Tallrekker med 1-3 og 1-4 burde det være mulig å løse for de fleste elever, spesielt hvis de får bruke kort og det interaktive verktøyet.
Mulig utvidelse
- Kan elevene lage en oversikt over hvilke tallrekker som det er umulig å sette opp slike tallsmørbrød for?
- Kan de lage flere tallsmørbrød, med flere tall, - som de vet skal være mulig å løse?
Forsidefoto: Chelsea London Phillips, Unsplash.com
Ressursen er utviklet av NRICH