Talsmørbrød
Aktivitet
På biletet under ser du ei rekkje tal som dannar fleire talsmørbrød. Eit talsmørbrød er tal som klemt inn mellom to like siffer. For eksempel er det tre talsmørbrød på biletet under. Det er eit eittalssmørbrød mellom eittala, eit totalssmørbrød mellom totala og eit eittalssmørbrød mellom tretala.
Er det mogleg å lage ei rekkje med tal der det er eit eittalssmørbrød mellom eittala, eit totalssmørbrød mellom totala og eit tretalssmørbrød mellom tretala?
Du kan bruke det interaktive verktøyet under dersom du synest det er vanskeleg.
Finst det meir enn éi løysing?
Kan du lage ei talrekkje med 1,1, 2,2, 3,3 og 4,4 som har talsmørbrød på same måten?
Du kan bruke det interaktive verktøyet under dersom du synest det er vanskeleg.
Talsmørbrød 1-4
Finst det meir enn éi løysing?
Er det mogleg å lage talrekkjer som har talsmørbrød med tala 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7?
Prøv å finne ei løysing.
Du kan bruke talkort eller det interaktive verktøyet under.
Talsmørbrød 1-7
Klikk her for å sjå ei mogleg løysing.
Har du laga den same løysinga?
Kor mange løysingar greier du å lage?
Kan du finne alle?
Korleis kan du vere sikker på at du har alle løysingane?
Er det mogleg å lage talrekkjer som har talsmørbrød med tala 1, 2, 3, 4 og 5?
Talsmørbrød 1-5
Hint - talsmørbrød 1-5
Tenk deg at vi fargelegg rutene slik at annakvar rute er raud, og annakvar er blå.
- Kor mange ruter må du bruke for å lage talsmørbrød med 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5?
- Kor mange raude og kor mange blå ruter må du bruke?
- Kva for fargar kan talsmørbrødet til 1-1 ha?
- Og kva for fargar kan talsmørbrødet til 2-2 ha?
- Kva for fargar må du bruke til alle talsmørbrøda samla?
- Blir det forskjell om du begynner på raud eller på blå rute?
Klarer du å lage talrekkjer som har talsmørbrød med tala 1, 2, 3, 4, 5 og 6?
Talsmørbrød 1-6
- Har du funne ut om du kan lage talsmørbrød med tala 1, 2, 3, 4 og 5?
- Var det mogleg, eller var det umogleg?
- Kva gjorde at det var mogleg eller umogleg å lage eit slikt smørbrød?
- Kan du resonnere på same måten når du skal bruke tala 1, 2, 3, 4, 5 og 6?
Starthjelp
Bruk korta når du prøver å finne ei løysing. Du kan begynne med å plassere talsmørbrødet som du skal lage av tretala, og deretter prøve å plassere dei to andre talsmørbrøda.
Løysing
Her er nokre moglege løysingar:
Talfølgjer med 1-1, 2-2, 3-3.
2 3 1 2 1 3
3 1 2 1 3 2
Talfølgjer med 1-1, 2-2, 3-3, 4-4:
4 1 3 1 2 4 3 2
2 3 4 2 1 3 1 4
Løysingane til dei to følgjene ovanfor er symmetriske. Det vil seie at rekkjefølgja er den same om du les frå venstre til høgre i den første løysinga i følgjene og frå høgre til venstre i den andre løysinga. Vil du seie at dette er ulike løysingar?
Talfølgjer med 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6, 7-7:
5 7 2 3 6 2 5 3 4 7 1 6 1 4
4 6 1 7 1 4 5 2 6 3 2 7 5 3
1 5 1 7 3 4 6 5 3 2 4 7 2 6
4 5 6 7 1 4 1 5 3 6 2 7 3 2
1 5 1 6 7 2 4 5 2 3 6 4 7 3
1 7 1 2 6 4 2 5 3 7 4 6 3 5
Når det gjeld talrekkjer med 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, bruker vi biletet med raude og blå ruter for å forklare det som skjer:
Talrekkjer med 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5 må leggjast ut over 10 ruter etter kvarandre. Dersom annakvar rute er raud og annakvar blå, må vi bruke 5 raude og 5 blå ruter.
Oversikt over moglege kombinasjonar i rutene vi bruker (R er raud rute, B er blå rute):
| 1 - 1 | RR | RR | RR | BB | BB | BB |
| 2 - 2 | RB | RB | RB | RB | RB | RB |
| 3 - 3 | RR | RR | BB | BB | BB | RR |
| 4 - 4 | RB | RB | RB | RB | RB | RB |
| 5 - 5 | RR | BB | BB | BB | RR | RR |
| Sum | 8R 2B | 6R 4B | 4R 6B | 8B 2R | 4R 6B | 6R 4B |
Vi ser at for partala bruker vi alltid ei rute av kvar farge. Men for oddetala må vi bruke to ruter med same fargen.
I dette tilfellet har vi tre oddetal. Det er umogleg å leggje talbrikker i like mange raude og blå ruter dersom vi har tre oddetal. Dersom vi prøver å fordele 1 – 1, 3 – 3 og 5 –5 på både blå og raude ruter, kan vi bruke 4R 2B eller 2R 4B, men vi får aldri 3R 3B.
Det blir tilsvarande om vi prøver å lage talsmørbrød med tala 1, 2, 3, 4, 5 og 6.
Her er det tre partal. Dei vil dekkje 3 raude og 3 blå ruter, same kvar vi legg dei. Men også her har vi tre oddetal som gjer det umogleg å bruke like mange raude som blå ruter. Så på same måten som det vart umogleg å leggje slike talsmørbrød for tala 1, 2, 3, 4 og 5, blir det umogleg om også 6 er med.
Tenk over:
Kor mange oddetal er det i talrekkjene 1, 2? Enn i 1, 2, 3? Enn i 1, 2, 3, 4? Og i 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? Stemmer det med resonnementet ovanfor?
Lærarrettleiing
Kvifor arbeide med denne oppgåva?
Aktiviteten er ei spennande utfordring for elevane på fleire nivå, og oppgåva i seg sjølv engasjerer dei til å finne løysingar.
Oppgåva er særleg verdifull fordi elevane får høve til å arbeide med argumentasjon og forklare kvifor noko er mogleg eller ikkje.
Fordi det er mange måtar å lage rekkjer med sju og åtte talsmørbrød på, får elevane høve til å finne si eiga unike løysing, som er annleis enn dei som er funne tidlegare
Mogleg tilnærming
Det kan vere til stor hjelp for elevane å ha talkorta å arbeide med. Ha klar korta og/eller PC eller nettbrett så dei kan nytte seg av det interaktive verktøyet.
Begynn med å introdusere problemet med tala 1-1, 2-2, 3-3, og vis talrekkja på biletet under.
Denne talrekkja dannar fleire talsmørbrød. Eit talsmørbrød er tal som klemt inn mellom to like siffer. For eksempel er det tre talsmørbrød på biletet over. Det er eit eittalssmørbrød mellom eittala, eit totalssmørbrød mellom totala og eit eittalssmørbrød mellom tretala.
Er det mogleg å lage ei rekkje med tal der det er eit eittalssmørbrød mellom eittala, eit totalssmørbrød mellom totala og eit tretalssmørbrød mellom tretala?
Set saman elevpar eller små grupper på tre, og gi dei god tid til å arbeide med problemet. Når dei har funne alle løysingane, kan dei lage talrekkjer med 1-4, 1-7, 1-8. Dei må halde styr på løysingane sine og korleis dei fann dei.
Når elevane har arbeidd ei stund og funne fleire løysingar, kan dei samlast i plenum for å dele løysingane sine med kvarandre. Fokuser på desse spørsmåla:
- Kan du lage ei talrekkje med talsmørbrød av tala 1,1, 2,2?
Kvifor eller kvifor ikkje? - Er alle talrekkjene identiske, berre slik dei ser ut frå ulike vinklar?
- Kor mange forskjellige talrekkjer kan du lage med 1-3? Med 1-4?
- Greidde nokon å finne ei talrekkje med 1–7?
Fann nokon ei talrekkje som er annleis? - Fann nokon ei talrekkje med 1–8?
For elevar som har laga alle talsmørbrøda, kan det vere spennande å prøve på talsmørbrød med tala 1–5. Går det an å lage talsmørbrød med desse tala? Dersom det ikkje går an, kvifor ikkje? Dei kan få det hintet oppgåva gir: Plasser tala i eit rutenett der annakvar rute er raud, og annakvar er blå.
Dersom elevane finn ei god forklaring på kvifor det er umogleg å lage talsmørbrød med tala 1–5, kan dei då bruke det same resonnementet på talsmørbrød med tala 1–6?
Mogleg støtte
Talrekkjer med 1–3 og 1–4 burde det vere mogleg å løyse for dei fleste elevane, særleg dersom dei får bruke kort og det interaktive verktøyet.
Mogleg utviding
- Kan elevane lage ei oversikt over kva for talrekkjer det er umogleg å setje opp slike talsmørbrød for?
- Kan dei lage fleire talsmørbrød, med fleire tal, som dei veit det skal vere mogleg å løyse?
Ressursen er utviklet av NRICH