Mønster i konjugatsetningen

Aktivitet

Oppgave 1

Hva er \(\frac{61^2-39^2} {51^2-49^2}\)?

Oppgaven hentet fra Abelkonkurransen 2002/03 første runde, oppgave 7.

Opgpgave 2

Denne oppgaven har svaralternativer.

\(1997\cdot2003-1993\cdot2007 \) er lik:

  1. 0
  2. 20
  3. 40
  4. 420
  5. 840

Oppgaven er hentet fra Abelkonkurransen 2007/08 første runde, oppgave 1.

Starthjelp

Oppgave 1

I aktiviteten "Hva er mulig?" ser vi eksempler på tall som kan skrives som differansen mellom to kvadrattall. For eksempel:
\(20=6^2-4^2\\ 21=5^2-2^2\\ 36=6^2-0^2 \)

Konjugatsetningen (eller 3. kvadratsetning): \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Bruk konjugatsetningen og skriv de tre tallene som et produkt av to tall:
\(20=6^2-4^2=\\ 21=5^2-2^2=\\ 36=6^2-0^2= \)

Merk at de to tallene i produktene i hvert av eksemplene ovenfor kan dannes ved kombinasjoner av de to tallene som er kvadrert. Hvordan?

På tilsvarende måte kan du skrive telleren \(61^2-39^2\) og nevneren \(51^2-49^2\) som produkt av to faktorer. Når du har faktorer i både teller og nevner i brøken, er det mulig å forkorte.

Oppgave 2

Her bruker vi konjugatsetningen "den andre veien": \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Kan du finne de to kvadrattallene a og b, hvis du får denne informasjonen:
\(15=5\cdot3=a^2-b^2\)

Og hva er verdien til a og b i disse tilfellene?:
\(24=12\cdot2=a^2-b^2\)
\(24=6\cdot4=a^2-b^2\)

Legg merke til at noen tall kan uttrykkes som differansen mellom to kvadrater på flere måter.

Kan du skrive \(1997\cdot2003\) som en differanse mellom to kvadrattall? Hvilke to kvadrattall?

Kan \(1993\cdot2007\) skrives som en differanse mellom to kvadrattall på tilsvarende måte?

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Når elevene lærer kvadratsetningene og konjugatsetningen (3. kvadratsetning), får de øvinger i å bruke reglene. Men det er en utfordring å gjenkjenne formen på et uttrykk. Det skal mye trening og erfaring til før elevene kan bruke denne kunnskapen effektivt. Aktiviteten tar utgangspunkt i to oppgaver fra Abelkonkurransen hvor man trenger konjugatsetningen i løsningen.

Med denne aktiviteten ønsker vi å utfordre og gi elevene noen flere erfaringer med å se hvordan konjugatsetningen kan brukes til å løse problemer som ser arbeidskrevende ut, på en ganske enkel måte.

Siden oppgavene i ABEL-konkurransen (og Kenguru-konkurransen) kommer med fem svaralternativ, har vi beholdt disse i oppgave 2. Under Mulig utvidelse har alle oppgavene svaralternativer, men dere kan velge å se bort fra disse, oppgavene fungerer også godt uten svaralternativene.

Mulig tilnærming

Kanskje har elevene arbeidet med aktiviteten "Hva er mulig?", så dere kan velge å starte med å bruke de samme eksemplene. De finnes under "Starthjelp, Oppgave 1". Men denne gangen skal de brukes på en annen måte. Elevene skal lete etter mønster, og de skal øve på å gjenkjenne formen på uttrykkene.

Vi tar utgangspunkt i en likhet der et tall er lik en differanse mellom to kvadrater.

Først utfordres elevene til å finne et mønster i tallene i likheten fra aktiviteten "Hva er mulig?" Når vi for eksempel har \(20 = 6^2 -4^2\), kan kombinasjoner av 6 og 4 gi tall som multiplisert med hverandre blir 20?

La elevene jobbe litt med flere eksempler der utgangspunktet er et tall som er lik differansen mellom to kvadrattall. Kan vi bruke disse to tallene og finne to tall som multiplisert med hverandre gir tallet i oppgaven?

Denne aktiviteten fungerer oftest best dersom læreren stanser arbeidet noen ganger og lar elevene forklare hva de har tenkt og funnet ut underveis i arbeidet. Hvis noen står fast, kan de få nye idéer å arbeide videre med. Etter oppgavene med å finne mønster i tallene, kan elevene løse den første oppgaven fra Abel-konkurransen. Det blir en ny felles samtale når denne oppgaven er løst.

Neste steg er å finne et system for de to kvadrattallene når vi får oppgitt tallet som et produkt av to faktorer. Her kan dere velge å starte med øvingene som finnes under «Starthjelp, oppgave 2». La elevene øve på å finne mønsteret i tallene, snakk sammen om hvilket mønster de ser, hvordan de tenker når de løser oppgavene. Til slutt løser de den andre oppgaven fra Abel-konkurransen.

Det er viktig å utfordre elevene til å sette ord på hva de tenker. Hvis de har ulike tilnærminger, kan flere elever forklare. Er noen tilnærminger mer effektive enn andre? I løpet av samtalene vil dere komme til å se og snakke om at dette dreier seg om å gjenkjenne mønsteret i, og bruke konjugatsetningen. Legg i fortsettelsen vekt på å tydeliggjøre mønsteret i hvert av uttrykkene, - hvordan kan vi se at konjugatsetningen ligger «skjult» i hver oppgave?

Gode veiledningsspørsmål

Til oppgave 1:

  • Kan tallet på venstre side i likheten skrives som et produkt av to tall? Hvilke? Kan de to tallene på høyre side kombineres for å danne disse to tallene?
  • Hva kan de to tallene i produktet være hvis de to tallene på høyre side er 61 og 39?

Til oppgave 2:

  • Hvis vi kjenner de to faktorene som gir oss tallet på venstre side, hva er strategien for å finne de to kvadrattalene?
  • Hvilket tall er lik \(a+b\)? Og hvilket er lik \(a-b?\) Kan du da finne og b?

Mulig utvidelse

Det fins flere oppgaver hvor konjugatsetningen gir enkle løsninger, her er noen eksempler:

Oppgave 3

Hva er \(\frac{2016^4-2015^4}{2015^2+2016^2} \) lik?

  1. 2015
  2. 4031
  3. 4033
  4. \(2\cdot(2016^2-2015^2)\)
  5. \(2015\cdot2016\)

Oppgaven er hentet fra Abelkonkurransen 2015/16 første runde, oppgave 5.

Løsning: B, 4031

Merk at \(2016^4-2015^4 = (2016^2)^2 – (2015^2)^2\).

\( \frac{2016^4-2015^4}{2015^2+2016^2}=\\ \frac{(2016^2+2015^2)(2016^2-2015)^2}{(2016^2+2015^2)}=\\ (2016^2-2015^2)=\\ (2016+2015)(2016-2015)=\\ 4031 \)

 

Oppgave 4

Hvilket av alternativene er lik \(\frac{1+\sqrt2}{\sqrt2-1}\)?

  1. \(1+\sqrt2\)
  2. \(3+2\sqrt2\)
  3. \(3\sqrt2\)
  4. \(2+\sqrt2\)
  5. \(1+\frac23\sqrt2\)

Oppgaven er hentet fra Abelkonkurransen 2013/14 første runde, oppgave 9.

Løsning: B, \(3+2\sqrt2\)

\(\frac{1+\sqrt2}{\sqrt2-1} =\\ \frac{(\sqrt2+1)(\sqrt2+1)}{(\sqrt2-1)(\sqrt2 +1)}=\\ \frac{(\sqrt2+1)^2}{2-1}=\\ \sqrt2^2+2\sqrt2+1=\\ 3+2\sqrt2 \)

 

Oppgave 5

Uttrykket \(\frac{\sqrt3 +1}{\sqrt2 +1}-\frac{\sqrt2(2-\sqrt2)}{\sqrt3-1}\) er lik

  1. 0
  2. -1
  3. \(\sqrt3-\sqrt2\)
  4. \(\frac{1}{\sqrt6+\sqrt3-\sqrt2-1}\)
  5. Ingen av disse

Oppgaven er hentet fra Abelkonkurransen 1998/99 første runde, oppgave 13.

Løsning: A, 0

Oppgaven kan løses på flere måter. Vi viser én måte nedenfor.

Merk at \(\sqrt2(2-\sqrt2)=2(\sqrt2 -1)\).  Hvorfor?

\(\frac{\sqrt3 +1}{\sqrt2 +1}-\frac{\sqrt2(2-\sqrt2)}{\sqrt3-1} =\\ \frac{(\sqrt3 +1)(\sqrt3-1)}{(\sqrt2 +1)(\sqrt3 -1)}-\frac{2(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt 2+1)} =\\ \frac{(3-1)- 2\cdot(2-1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt 2+1)}= 0 \)

 

Oppgave 6

Hvor mange heltall er større enn \(2015\cdot2017\), men mindre enn \(2016\cdot2016\)?

  1. 0
  2. 1
  3. 2015
  4. 2016
  5. 2017

Oppgaven er hentet fra Kängurutevlingen 2016 student, oppgave 4.

Løsning: A, 0

\(2015\cdot2017=\\ (2016+1)(2016-1)=\\ 2016^2-1 \)

De finnes ingen hele tall mellom \(2016\cdot2016\) og \(2016^2-1\)

Mulig støtte

Den viktigste støtten er å hjelpe elevene til å gjenkjenne mønsteret i konjugatsetningen (og kvadratsetningene) i de ulike oppgavene.

Ressursen er utviklet av Matematikksenteret

9,10