Faktorisering av andregradsuttrykk
Aktivitet
I denne oppgaven brukes centikuber. Hvis man ikke har dette utstyret, kan man klippe ut kvadrater, staver og enhetskvadrater av stivt papir. Fire forskjellige ark finnes under "kopieringsoriginaler". Det er viktig at det er flere baser å velge mellom. Det betyr at det må være kvadrater av ulike størrelser, staver med samme lengde som kvadratenes sider og rikelig med enhetskuber eller brikker.
Se på videoen hvordan Amund og Lene lager rektangler av enheter, staver og kvadrater med centikuber.
- Prøv å lage et rektangel som representerer uttrykket \(x^2+7x+12.\)
- Kan dere lage det i andre baser enn 3 og 5?
Se hvordan Lene løser dette problemet:
Bruk et kvadrat, flere staver og 12 enhetskuber i den basen dere har valgt. Sett kvadratet sammen med staver slik at det dannes et rektangel på en slik måte at det vil bli et rektangel uansett hvilken base dere bruker.
Amund og Lene laget \(x^2+7x+12\) som et rektangel med lengde \(x+4\) og bredde \(x+3\).
- Hvor mange ulike rektangler kan dere lage?
- Hva legger dere merke til når det gjelder dimensjonene (lengde og bredde) til rektanglene?
- Tenk dere at dere har et kvadrat, rikelig med staver og 100 enhetskuber. Hvilke sidelengder er det mulig å bruke når dere lager rektangler? Hvilke andregradsuttrykk svarer de til?
- Tenk dere at dere har ett kvadrat, p staver og q enhetskuber. Hvilke sidelengder er det mulig å bruke når dere lager rektangler? Hvilke andregradsuttrykk svarer de til?
Videre utfordring:
Hvilke rektangler kan dere lage hvis dere bruker to, tre, fire, osv. kvadrater sammen med staver og enhetskuber?
Starthjelp
- Tenk dere at dere har et kvadrat, rikelig med staver og 100 enhetskuber. Hvilke sidelengder er det mulig å bruke når dere lager rektangler? Hvilke andregradsuttrykk svarer de til?
- Begynn med å lage familier av uttrykk som disse:
\(x^2+3x+2\\ x^2+4x+3\\ x^2+5x+4\: osv.\)
- Hva legger dere merke til?
- Kan dere forklare hvorfor?
Løsning
Vi kan lage rektangler slik som illustrasjonen nedenfor:
Kvadratet svarer til arealet \(x^2.\)
De to røde rektanglene er satt sammen av staver, og de har areal \(ax\) og \(bx\). Det røde arealet er til sammen \(ax+bx=(a+b)x.\)
Det blå arealet er \(ab.\)
Hele arealet er summen av grønt, rødt og blått areal: \(x^2+(a+b)x+ab.\)
Vi kan også skrive arealet på en annen måte, for det store rektangelet har sidelengder \(x+a\) og \(x+b\), så arealet kan skrives \((x+a)(x+b).\)
Da kan vi slå fast at \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\).
Et eksempel i tillegg:
Hvis vi bruker ett kvadrat og 12 staver, kan vi lage 7 ulike rektangler som fungerer i alle baser:
\(x(x + 12), \:(x + 1)(x + 11), \:(x + 2)(x + 10), \:(x + 3)(x + 9), \\(x + 4)(x + 8),\: (x + 5)(x + 7), \:(x + 6)(x + 6)\)
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne oppgaven?
Når elevene blir kjent med faktorisering, er det mange som ikke ser sammenhengen mellom faktorisering av algebrauttrykk og det å splitte tall opp i faktorer. Denne oppgaven introduserer faktorisering gjennom en visuell representasjon. Det kan gi elevene mulighet til å oppdage hvordan et algebraisk uttrykk kan faktoriseres, og hva som kreves for at det skal være mulig å faktorisere et andregradsuttrykk.
Mulig tilnærming
Begynn med å se den første filmen.
I denne oppgaven brukes centikuber. Hvis man ikke har dette utstyret, kan man klippe ut kvadrater, staver og enhetskvadrater av stivt papir. Det er viktig at det er flere baser å velge mellom. Det betyr at det må være kvadrater av ulike størrelser, staver med samme lengde som kvadratenes sider og rikelig med enhetskuber eller brikker.
Be elevene gå sammen i grupper på tre–fire, og la dem velge hvilken base de vil arbeide med. Hvis de arbeider med centikuber, må de få litt tid slik at alle får satt sammen sitt kvadrat og et antall staver i riktig størrelse.
«Ta et kvadrat, sju staver og tolv enhetskuber, og sett dem sammen til et rektangel.»
«Sammenlign rektanglene til alle i gruppa. Har dere satt dem sammen på samme måte? Utfordringen er å finne en måte å sette dem sammen på som fungerer i alle baser.»
Se på den andre filmen. Her finner elevene en måte å arrangere rektangelet på som fungerer i alle baser. Sørg for at alle får det med seg.
«Nå skal dere lage et rektangel ved å bruke et kvadrat, fem staver og åtte enheter.»
Gi gruppene tid til å arbeide med dette.
Samle hele klassen, og spør om noen klarte å lage rektangel. Det er mulig i base 3, 4 og 8, men ikke i alle baser. Utfordringen blir å finne ut hvordan de raskt skal kunne avgjøre hvorvidt en kombinasjon av kvadrat, staver og enheter kan settes sammen til et rektangel, uansett hvilken base de arbeider med.
Disse spørsmålene kan være en hjelp for å gjøre undersøkelsene systematisk.
«Hør på hverandres tanker og løsninger. Kanskje får du ideer som kan hjelpe deg i undersøkelsene dine.»
Del til slutt i plenum det elevene har funnet, og sørg for at de viktigste punktene blir oppsummert.
Gode veiledningsspørsmål
Hva er sammenhengen mellom antall staver og antall enhetskuber dere trenger, og dimensjonene (lengde og bredde) til rektangelet?
Mulig støtte
Sett elevene i gang med å lage familier av uttrykk som disse:
\(x^2+3x+2\\ x^2+4x+3\\ x^2+5x+4\)
Mulig utvidelse
Tenk ut hvilke rektangler dere kan lage hvis dere bruker to, tre, fire ... x kvadrater sammen med staver og enhetskuber.
Ressursen er utviklet av NRICH