I 6-gangen

Stikkord: Delelighet Rest

Velg et tilfeldig tall n, regn ut $n^3+11n$ , og divider tallet med 6.

For hvilke verdier av n blir svaret du får, et helt tall?
Kan du forklare hvorfor?

For hvert tall n kan vi få følgende tall til rest når vi dividerer med 6: 0, 1, 2, 3, 4 eller 5.
For eksempel gir divisjonen 22 : 6 4 til rest og 23 : 6 gir 5 til rest. Divisjonen går opp hvis resten blir 0.

n	n³	Rest ved divisjonen n³ : 6	11n	Rest ved divisjonen 11n : 6
1	1	1	11	5
2	8	2	22	4
3	27	3	33	3
4	64	4	44	2
5	125	5	55	1
6	216	0	66	0
7	343	1	77	5
8	512	2	88	4
9	729	3	99	3
10	1000	4	110	2
11	1331	5	121	1
12	1728	0	132	0
13	2197	1	143	5
14	2744	2	154	4
15	…	3	…	3
16	…	4	…	2

Restene følger et fast mønster for hver verdi av n.
Vi ser på divisjonen $(n^3+11n) :6$ for noen verdier av n:

$\begin{array}{l} ({n^3} + 11n):6 = {n^3}:6 + 11n:6\\ n = 7{\text{ gir 343:6 + 77:6 = 57}}\frac{1}{6} + 12\frac{5}{6} = 57 + 12 + \frac{6}{6}\\ n = 8{\text{ gir 512:6 + 88:6 = 85}}\frac{2}{6} + 14\frac{4}{6} = 85 + 14 + \frac{6}{6}\\ n = 9{\text{ gir 729:6 + 99:6 = 121}}\frac{3}{6} + 16\frac{3}{6} = 121 + 16 + \frac{6}{6} \end{array}$

Alle divisjonene går opp (gir heltall til svar).
Det betyr at divisjonen $(n^3+11n) :6$ vil gå opp for alle naturlige tall n.

Alternativ løsning

$\begin{align}&&&{n^3} + 11n \\ = &&&{n^3} + 12n - n \\ = &&&n({n^2} - 1) + 12n \\ = &&&(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) + 12n\end{align}$

6 går alltid opp i produktet av tre påfølgende tall og også i 12n, så 6 vil alltid gå opp i $n^3+11n$ .

Ressursen er utviklet av NRICH

I 6-gangen

Problem

Løsning