Læreplankoblet

Velg tre av fem tall

Stikkord: Generalisering Bevis

Aktivitet

Sjå videoen under. Er det slik at Harald alltid vil finne tre tal som i sum er eit tal i 3-gangen?

Kan du finne eit sett med fem vilkårlege heile tal der det ikkje er mogleg å velje ut tre tal som i sum gir eit tal i 3-gangen?

Viss du ikkje kan finne eit slikt sett, kan du bevise at det ikkje finst?

 

Starthjelp

  • Byrj med aktiviteten Kva tal kan vi lage?.

  • Tenk på eit liknande problem: Viss du vel to tal frå eit sett med tre vilkårlege tal, kan du alltid velje to tal som i sum blir eit partal. Kvifor er det slik?

 

Løysing

Vi ser først på partala.
Alle tal er anten partal eller oddetal. Partal kan bli skrive på forma 2n, og oddetal på forma 2n + 1.
Når vi legg saman to partal, får vi eit nytt partal: 2a + 2b = 2(a + b), som er tal i 2-gangen.

På same måte får vi eit partal viss vi adderer to oddetal: (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1).

Vi vil alltid kunne få eit partal til sum viss vi vel to av tre vilkårlege tal. Det finst fire moglege kombinasjonar:

  1. Alle tre tala er partal.

  2. Alle tre tala er oddetal.

  3. Det er eitt partal og to oddetal.

  4. Det er eitt oddetal og to partal.

I alle dei fire tilfella kan vi velje anten to partal eller to oddetal.

Ved å bruke same resonnement kan vi også bevise at vi får eit tal i 3-gangen viss vi summerer tre av fem vilkårlege tal.

Ettersom det dreier seg om tal i 3-gangen, kan vi seie at alle heile tal er anten i 3-gangen (3n), 1 meir enn eit tal i 3-gangen (3n + 1) eller 2 meir enn eit tal i 3-gangen (3n + 2).

Vi kan få eit tal i 3-gangen viss vi adderer tre tal i 3-gangen: 3a + 3b + 3c = 3(a + b + c).

Vi kan få eit tal i 3-gangen viss vi adderer tre tal som er 1 meir enn eit tal i 3-gangen: (3a + 1) + (3b + 1) + (3c + 1) = 3(a + b + c + 1). 

Vi kan få eit tal i 3-gangen viss vi adderer tre tal som er 2 meir enn eit tal i 3-gangen: (3a + 2) + (3b + 2) + (3c + 2) = 3(a + b + c + 2).

Viss vi vil finne eit sett med fem tal der det ikkje er mogleg å velje ut tre tal som i sum gir eit tal i 3-gangen, må vi altså unngå at tre av tala ikkje er på same form som vist over.

Det betyr at vi må ha minst eitt tal på kvar form. Problemet er at eitt tal på kvar form også gir eitt tal i 3-gangen: 3a + (3b + 1) + (3c + 2) = 3a + 3b + 3c + 3 = 3(a + b + c + 1).

Det betyr at det alltid vil vere mogleg å plukke ut tre av fem vilkårlege tal som i sum blir eit tal i 3-gangen, fordi det alltid vil vere mogleg å plukke ut tre tal på ulik form eller tre tal på lik form.

 

Lærarrettleiing

Kvifor arbeide med denne oppgåva?

Denne oppgåva ser ved første augekast ut som ei taloppgåve som handlar om tal i 3-gangen, men etter kvart blir det utvikla eit bevis på kvifor noko aldri kan finnast. Å arbeide med bevis på denne måten kan kjennast meiningsfullt for elevane, og dei kan sitje igjen med ei tilfredsstillande kjensle av å ha oppnådd noko.

Mogleg tilnærming

Det vil vere veldig nyttig for elevane å arbeide med aktiviteten Kva tal kan vi lage? før dei set i gang med denne aktiviteten.

Introduser problemet på same måte som Harald gjer i filmen, ved å be elevane om å velje ut fem vilkårlege tal. Lag ein sirkel rundt dei tre tala som i sum blir eit tal i 3-gangen, og skriv summen på sida.

Ikkje røp kva som er spesielt med summen, men la elevane finne ut av det saman. Få dei til å velje ut fem tal som gjer at du ikkje får skrive summen på sida viss dei har funne ut kva som er spesielt med tala. Undersøk etter kvart om alle veit kva som går føre seg.

Utfordre elevane til å finne eit sett med fem tal der det ikkje er mogleg å velje ut tre tal som i sum gir eit tal i 3-gangen. La dei arbeide i par eller i grupper, og foreslå at dei skriv alle forslaga sine på ein plakat på veggen (eller tavla) før dei undersøkjer om det stemmer.

La det vere lov til å bruke negative tal, så lenge du får lov til å lage tal i 3-gangen som er negative, og null.

På eit eller anna tidspunkt vil elevane påstå at dette er umogleg. I så fall kan du seie til dømes: «Viss de meiner det er umogleg, må det vere ei forklaring. Kan de finne ei forklaring så vi kan vere sikre på at det er umogleg?»

Etter at elevane har arbeidd ei god stund, kan dei samlast i plenum for å dele idear. Viss det ikkje allereie har dukka opp, deler du representasjonen til Karl frå aktiviteten «Kva tal kan vi lage?» LINK!!!

Alle tala kjem inn under ein av desse kategoriane:

Type A (tal i 3-gangen)

Type B (tal i 3-gangen + 1 (3n + 1))

Type C (tal i 3-gangen + 2 (3n + 2))

  • Kva kombinasjonar av A, B og C gir i sum eit tal i 3-gangen?

  • Kan du finne eit døme frå lista på tavla, der du gav meg ein av dei kombinasjonane?

La elevane tenkje nokre minutt.

«Fint, då treng de berre å finne ein kombinasjon med fem tal med type A, B og C som ikkje gir tre tal av kvar type eller ein av kvar type (AAA, BBB, CCC eller ABC).»

La elevane tenkje nokre minutt.

«Det er umogleg. Det vil alltid vere ein kombinasjon av anten AAA, BBB, CCC eller ABC!»

«Ok, men kan de bevise det? Kan de overtyde meg om at det er umogleg?»

Mogleg utviding

Ei utfordrande utviding av aktiviteten:

  • Kan du garantere at du kan plukke ut to av tre vilkårlege tal der summen blir eit tal i 2-gangen?
  • Kan du garantere at du kan plukke ut tre av fem vilkårlege tal der summen blir eit tal i 3-gangen?
  • Kan du garantere at du kan plukke ut fire av sju vilkårlege tal der summen blir eit tal i 4-gangen?

Mogleg støtte

Vel eit sett med tre vilkårlege tal. Dei tre vilkårlege tala vil alltid bestå av to tal som summert gir eit tal i 2-gangen. Kvifor er det slik?

 

Ressursen er utviklet av NRICH

9