Fyll opp meir!
Aktivitet
I oppgåva Fyll opp! skal du skissere grafar som viser samanhengen mellom høgda på vatnet og volumet av vatnet i seks forskjellige behaldarar, medan dei blir fylte opp.
I staden for å skissere grafar eller plotte eksperimentelle data kan vi lage grafar ved å analysere forma på kvar behaldar, og finne funksjonen som uttrykkjer samanhengen mellom høgde og volum. Somme funksjonsuttrykk er enklare å finne analytisk enn andre!
Både vassglaset og den nedre delen av kolben på biletet er avkappa kjegler. Vi kan bruke det vi veit om eigenskapane til volumet av kjegler, for å analysere det som skjer når vi fyller glaset eller kolben med vatn.
Sjå for deg ei kjegle som står med spissen ned når ho blir fylt med vatn:
I kjegla til høgre er vasshøgda dobla. Korleis er volumet endra? Korleis blir det dersom vasshøgda vart tredobla? Dersom vasshøgda auka med ein faktor n?
Kor mykje må vasshøgda aukast for å doble volumet? Kor mykje må ho aukast for å tredoble volumet? Kor mykje må ho aukast for å auke volumet med ein faktor n?
Korleis vil ein graf av volumet (y) mot høgda (x) sjå ut?
Korleis vil ein graf av høgda (x) mot volumet (y) sjå ut?
Vassglaset er ikkje ei heil kjegle, men ei avkutta kjegle. Korleis kan du bruke grafen til ei kjegle for å finne ut korleis grafen til vassglaset ser ut?
Utfordring:
- Kan du, ved å bruke ein liknande analyse, finne forma på grafen til vasshøgde mot volum for ei kjegle som står på grunnflata (sirkelen), i staden for med spissen ned?
- Kan du bruke denne grafen til å finne ut korleis grafen til kolben vil bli?
Starthjelp
Sjå for deg ein konisk behaldar som inneheld \(10 cm^3\) vatn når han er fylt opp til ei høgde på 1 cm:
| Vasshøgde | Volum |
| 1 | 10 |
| 2 | 80 |
| 3 | 270 |
- Kva er forholdet mellom høgde og volum i kjegla som blir fylt i tabellen?
- Korleis kan du teikne ein graf som viser det?
Lærarrettleiing
Kvifor arbeide med denne oppgåva?
Denne oppgåva går vidare frå Fyll opp!, og gjer det mogleg for elevane å bruke vekstfaktorar på volum for å finne forholdet mellom volumet og høgda på ei kjegle.
Mogleg tilnærming
Det kan vere lurt at elevane har erfaringar med skissering av grafar før dei begynner med denne oppgåva. La dei skissere grafane til oppgåva «Fyll opp!», som du finn som kopioriginal 1.
«Sjå for dykk at vi vil plotte grafane nøyaktig ved å formulere likningar som viser samanhengen mellom vasshøgde og volum. Nokre delar av behaldarane vil vere enklare å arbeide med enn andre. Kva for delar vil vere enklast? Kva for delar vil vere vanskelegast?»
Bruk tid på å diskutere ideane til elevane, og relater dei til grafane som dei har skissert ovanfor.
«La oss prøve å analysere korleis høgda endrar seg når vassglaset blir fylt. Vassglaset kan vi sjå som ein del av ei kjegle, så eg vil først at de skal sjå på ei kjegle som blir fylt med vatn.»
Gi elevane kopioriginal 2 som dei kan arbeide med i grupper på 3–4. Gjer det klart for dei at du ventar at alle skal vere i stand til å forklare korleis dei tenkjer, og at kven som helst frå gruppa kan måtte seie noko om arbeidet og konklusjonen i gruppa, i diskusjonar undervegs og i ein avsluttande diskusjon.
På slutten av økta bør gruppene få presentere tankane sine for resten av klassen.
Gode rettleiingsspørsmål
- Kva skjer med volumet av ei kjegle når eg forstørrar henne med faktorane 2, 3, 4, 5, ..., n?
- Dersom volumet av vatnet er \(10 cm^3\)
Mogleg utviding
Nedst på oppgåvesida er det foreslått to utfordringar: Å analysere den inverse kjegla er ei nokså lik utviding, medan å analysere ei sfærisk flaske er meir utfordrande.
Oppgåva Nedsenking gir fleire moglegheiter til å arbeide med funksjonsforhold relaterte til volum.
Ressursen er utviklet av NRICH