Eit tog av tal
Problem
Ei spesiell følgje av N etterfølgjande heiltal startar med 1111 på denne måten:
1111, 1112, 1113, …, (1111 + N – 1)
Heile følgja blir flytta D plassar langs tallinja og det første talet blir utelaten slik at vi får ei følgje av N – 1 etterfølgjande tal på denne måten:
1112 + D, 1113 + D, …, (1111 + N – 1) + D
I begge følgjene er summen av alle tala den same.
Kva for nokre moglege verdiar kan N og D ha?
Løysing
Vi set dei to følgjene lik kvarandre:
\(\begin{align} 1111+\:&1112+1113\:+\:...\:+\:(1111+N-1)\\ =&1112+D+1113+D\:+\:...\:+\:(1111+N-1)+D\\ \end{align}\)
\(\begin{align} 1111+\:&1112+1113\:+\:...\:+\:(1111+N-1)\\ =&1112+1113\:+\:...\:+\:(1111+N-1)+(N-1)D \end{align}\)
Trekkjer frå like tal på begge sider av likskapsteiknet, og står igjen med:
\(1111=(N-1)D\)
Faktoriserer vi 1111, ser vi at det kan skrivast som produkt på to måtar:
\(1111=1111\cdot1\:\land\:1111=101\cdot11\)
Løsning:
\(\begin{align} N-1&=1&\Rightarrow&&N&=2&\land &&D&=1111\quad &Sum\:av\:begge\:følgjer:\: &2223\\ N-1&=11&\Rightarrow&&N&=12&\land &&D&=101\quad &Sum\:av\:begge\:følgjer: \:&13398\\ N-1&=101&\Rightarrow&&N&=102&\land &&D&=11\quad &Sum\:av\:begge\:følgjer: \:&118473\\ N-1&=1111&\Rightarrow&&N&=1112&\land &&D&=1\quad &Sum\:av\:begge\:følgjer: \:&1853148\end{align}\)
Du kan kontrollere summane med formelen for sum av aritmetisk rekkje eller med rekneark.
Ressursen er utviklet av NRICH