Summar av etterfølgjande tal
Aktivitet
Nokre tal er lik summen av etterfølgjande tal.
- Kan du skrive alle tal på denne måten?
- Kva for tal kan skrivast på meri enn éin måte?
Jonas har tenkt på summar av etterfølgjande tal. Her er noko av det han noterte:
Amalie kikka over skuldra hans og såg på notata:
- «Eg lurer på om vi kan skrive alle tal som ein sum av etterfølgjande tal.»
- «Nokre tal kan skrivast på meir enn éin måte. Eg lurer på kva tal det er.»
- «Både 9, 12 og 15 kan skrivast som ein sum av tre etterfølgjande tal. Eg lurer på om alle tala i 3-gongen kan skrivast på denne måten.»
- «Kanskje ein då kan skrive alle tala i 4-gongen som ein sum av fire etterfølgjande tal …»
Prøv å finne svar på noko av det Amalie lurer på, eller tenk på noko du sjølv lurer på, og prøv å finne svar på det.
Kan du trekkje nokre konklusjonar?
Kan du gi overtydande argument for eller bevis på konklusjonane du har kome fram til?
Starthjelp
- Begynn med å leggje saman nokre etterfølgjande tal. Du kan for eksempel undersøkje dei tala du får når du legg saman to eller tre etterfølgjande tal.
- Samanlikn desse to summane med tre etterfølgjande tal:
1 + 2 + 3 = 6
2 + 3 + 4 = 9
Kan du forklare kvifor summen her auka med 3?
Løysing
- Her er det inga enkel løysing, men mange ulike forhold å oppdage.
Dersom vi legg saman to etterfølgjande tal, får vi alltid eit oddetal.
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 4 = 7
4 + 5 = 9
osv.
Summen aukar med 2 for kvar gong.
- Dersom vi legg saman tre etterfølgjande tal, blir summen alltid eit tal i 3-gongen.
1 + 2 + 3 = 6
2 + 3 + 4 = 9
3 + 4 + 5 = 12
4 + 5 + 6 = 15
5 + 6 + 7 = 18
osv.
Summen aukar med 3 for kvar gong.
- Dersom vi legg saman eit oddetal etterfølgjande tal, blir summen alltid det midtarste talet (gjennomsnittet av tala) multiplisert med antal tal vi legg saman. Kvifor?
- Dersom vi legg saman fire etterfølgjande tal, blir summen alltid eit partal som er det doble av eit oddetal. Kvifor?
1 + 2 + 3 + 4 = 10
2 + 3 + 4 + 5 = 14
3 + 4 + 5 + 6 = 18
osv.
Her aukar summen med 4 for kvar gong.
- Ikkje alle tal kan skrivast som ein sum av etterfølgjande tal, det gjeld for eksempel 2, 4 og 8.
Det viser seg at dette gjeld for alle potensar av 2 (\(2^n\)).
2
3 = 1 + 2
4
5 = 2 + 3
6 = 1 + 2 + 3
7 = 3 + 4
8
9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4
10 = 1 + 2 + 3 + 4
11 = 5 + 6
12 = 3 + 4 + 5
13 = 6 + 7
14 = 2 + 3 + 4 + 5
15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
Bevis:
- Dersom vi legg saman eit oddetal etterfølgjande tal, blir summen lik det midtarste talet (gjennomsnittet av talet) multiplisert med antal tal i summen.
Altså:
sum = gjennomsnitt ⋅ antal etterfølgjande tal = eit heilt tal ⋅ eit oddetal
\(2^n\) kan ikkje ha eit oddetal som faktor, så eit produkt av eit oddetal etterfølgjande faktorar kan aldri bli eit tal på forma \(2^n\).
- Dersom vi legg saman eit partal etterfølgjande tal, vil gjennomsnittet (summen av alle tala delt på antal tal i summen) vere lik summen av dei to midtarste tala delt på 2.
summen = (summen av dei to midtarste tala ⋅ \(\frac12\)
⋅ antal etterfølgjande tal)
= (summen av to etterfølgjande tal) ⋅ (\(\frac12\) ⋅ partal)
= (summen av to etterfølgjande tal) ⋅ heiltal
= oddetal ⋅ heiltal
Sidan ein av faktorane er eit oddetal, kan heller ikkje denne summen vere eit tal på forma \(2^n\).
Konklusjon: Summar av etterfølgjande tal kan aldri bli eit tal på forma \(2^n\).
Lærarrettleiing
Ver merksam på at oppgåve er gitt skriftleg i to versjonar. Du kan bruke kopieringsoriginalen som finst her. Eller bruk forteljinga om Jonas og Amalie og spørsmåla i samband med den.
Kvifor arbeide med denne oppgåva?
Denne oppgåva er ein enkel kontekst som gjer at elevane kan begynne å utforske eigenskapar ved tala. Dei kan sjå samanhengar og kanskje kome fram til nokre sofistikerte algebraiske argument og bevis.
Mogleg tilnærming
Du kan begynne med å vise videoen som du finn her. Det er same lenkja som ovanfor, eller du kan vise dette undervegs der det passar i introduksjonen.
For å introdusere problemet kan du begynne med å spørje: «Kan nokon føreslå mengder på to eller fleire etterfølgjande tal?» Skriv nokre få forslag på tavla.
«Kva får vi dersom vi legg saman dei etterfølgjande tala i kvar av mengdene?» Skriv + mellom tala, og la elevane rekne og skrive svara.
«Alle desse svara er eksempel på tal som kan skrivast som summen av etterfølgjande tal. Trur de alle tal kan skrivast på ein slik måte?»
«Kan de prøve å skrive alle tala frå 1 til 30 som summar av etterfølgjande tal?»
La elevane arbeide saman i par medan du skriv tala frå 1 til 30 på tavla, og gjer klar til å skrive inn løysingane til elevane.
Dersom nokon spør om dei får lov til å bruke negative tal, kan du for eksempel svare: «Hald dykk til positive tal no, så kan vi kanskje forske på negative tal seinare.»
Så snart dei fleste har funne mange løysingar, kan dei samlast på tavla.
«Sjå på desse svara, og førebu dykk på å snakke om interessante ting de oppdagar.»
La elevane få tid til å tenkje åleine først, og deretter diskutere med partnaren før diskusjonen i heile klassen.
Samle alle innspela og skriv dei på tavla som spørsmål eller påstandar. Dersom ingen elevar kjem med idear eller påstandar, kan du bruke spørsmåla som Amalie stiller.
La elevpara velje spørsmål dei vil prøve å finne ut av. Sei at dei må førebu seg på å gi overtydande argument for å forklare det dei har kome fram til.
Dersom det passar for klassen, kan de i fellesskap sjå på korleis ein kan representere etterfølgjande tal algebraisk (n, n + 1, n + 2 …), slik at elevane får verktøy til algebraiske bevis.
Denne oppgåva inneheld mange problemstillingar og løysingar. Sørg for at dei problema elevane har valt og arbeidd med, blir presenterte og diskuterte, og at det blir klart kva som er rette løysingar på dei.
Gode rettleiingsspørsmål
- Kva skjer når du legg saman to etterfølgjande tal? Korleis blir det om du legg saman tre etterfølgjande tal? Fire etterfølgjande tal?
- Kva legg du merke til ved tal som ikkje kan skrivast som ein sum av etterfølgjande tal?
- Dersom det første talet i ei mengde av etterfølgjande tal er n, korleis kan du skrive algebraisk dei neste tala i mengda, og dermed summen av tala?
Mogleg utviding
Utfordre elevane til å finne ut kor mange ulike måtar alle tal x kan skrivast på som ein sum av etterfølgjande tal.
Ei meir krevjande utfordring:
Vis at det ikkje er mogleg å skrive \(2^n\) som ein sum av etterfølgjande tal, same kva verdi av n vi vel.
Mogleg støtte
Løysingane til klassen for tala frå 1 til 30 kan samlast i ein tabell som gir oversikt over ulike antal ledd i summen:
| 9 = | 4 + 5 | 2 + 3 + 4 | ||
| 10 = | 1 + 2 + 3 + 4 | |||
| 11 = | 5 + 6 | |||
| 12 = | 3 + 4 + 5 | |||
| 13 = | 6 + 7 | |||
| 14 = | 2 + 3 + 4 + 5 | |||
| 15 = | 7 + 8 | 4 + 5 + 6 | 1 + 2 + 3 + 4 + 5 |
Ressursen er utviklet av NRICH