Hanois tårn

Aktivitet

Denne oppgaven er i to deler. I den første delen skal du arbeide med noen byggesteiner som du kan bruke til å løse «Siste utfordring». Byggesteinene A og B kan du jobbe med i den rekkefølgen du vil. Du kan også gå rett til «Siste utfordring» hvis du ønsker det.

I oppgaven skal du arbeide med et kjent matematisk problem, kalt Hanois tårn. Problemet går ut på følgende: Du har tre pinner. På den første pinnen ligger det skiver i forskjellig størrelse slik at den største ligger nederst og den minste øverst, se figuren under. Målet med spillet er å flytte alle skivene til en annen pinne. Imidlertid kan bare én skive flyttes om gangen. I tillegg kan du ikke legge en større skive oppå en mindre skive.

Hanois tårn med tre skiver

 

Byggestein A

Hva er det minste antallet flytt som trengs for å fullføre Hanois tårn med

  • én skive?
  • to skiver?
  • tre skiver?
  • fire skiver?

Legger du merke til noe interessant med måten antallet flytt øker på? Kan du forklare mønstrene du finner?

 

Byggestein B

Hanois tårn med to skiver kan fullføres med tre flytt. Kan du bruke det til å finne ut hvor mange flytt som trengs for tre skiver?

Hanois tårn med fire skiver kan fullføres med 15 flytt. Kan du bruke det til å finne ut hvor mange flytt som trengs for fem skiver?

Kan du forklare hvordan man kan finne ut hvor mange flytt som trengs når man legger til én skive?

 

Siste utfordring

Forklar hvordan man kan finne ut antall flytt som trengs for Hanois tårn med n skiver.

 

Utvidelse

En legende sier at en 64-skiveversjon av Hanois tårn spilles i et tempel, og at når siste flytt gjøres, vil verden gå under. Hvis man gjør ett flytt hvert sekund, hvor lang tid vil det ta å fullføre Hanois tårn med 64 skiver? Trenger vi å bekymre oss hvis den første skiva ble flyttet ved tidens begynnelse?

Starthjelp

Se på denne følgen:

1, 2, 4, 8, 16 …

Kan du beskrive hvordan man kommer fra ett tall til det neste?

Kan du beskrive det n-te leddet i følgen?

 

Prøv nå å legge sammen deler av følgen:

1 + 2

1 + 2 + 4

1 + 2 + 4 + 8

Legger du merke til noe interessant?

Kan du forutse hva 1 + 2 + 4 + … + 64 + 128 blir? Sjekk for å se om du har rett.

 

Hvordan kan du skrive svaret på 1 + 2 + 4 + … + 2n?

Forklar hvorfor formelen din fungerer.

 

Hint til byggestein B: Tenk på hvordan du kan flytte alle skivene unntatt den største til den midterste pinnen først.

 

Hint til utvidelsesspørsmålet: Ifølge nåværende teorier og observasjoner har det gått mellom 13,5 og 14 milliarder år siden Big Bang.

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Hanois tårn er et velkjent matematisk problem som frambringer noen svært interessante mønster. Denne versjonen av problemet involverer en viktig siste utfordring, som elevene kan arbeide med enten alene eller etter at de har arbeidet med byggesteinene som leder dem til innsikt som kan hjelpe dem videre.

Ved først å arbeide med byggesteinene får elevene mulighet til å arbeide med vanskeligere matematiske utfordringer enn de kanskje ville ha prøvd ellers.

Oppgaven er strukturert slik at den er ideell å arbeide med i små grupper.

Vi anbefaler å ha egnet konkretiseringsmateriell tilgjengelig. Det kan være for eksempel Hanois tårn-kit, cuisenairestaver, Numicon eller annet materiell med ulike størrelser.

Mulig tilnærming

En utskrift av kopioriginalene kan være nyttig.

Start med å forklare hvordan Hanois tårn fungerer. Presiser reglene: Bare én skive kan flyttes hver gang, og en større skive kan ikke ligge oppå en mindre skive.

Del ut et sett med byggesteinkort til grupper på tre elever. Del ut «Siste utfordring» etter at de har jobbet med de første byggesteinene. Innad i gruppene kan elevene strukturere arbeidet sitt på mange ulike måter.

Hver elev, eller hvert elevpar, kan få sin egen byggestein å jobbe med. Etter at de har hatt mulighet til å komme videre med problemet sitt, kan du oppmuntre dem til å dele funnene sine med hverandre og arbeide sammen om hverandres oppgaver.

Alternativt kan hele klassen jobbe sammen med alle byggesteinene for å sikre at de ikke går videre før alle forstår. Når alle i klassen er fornøyde og har fått utforsket utfordringene i detalj, kan du dele ut «Siste utfordring».

Det er viktig å sette av litt tid på slutten slik at elevene får delt og sammenliknet funnene og forklaringene sine.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hvilken viktig matematisk informasjon gir byggesteinen min meg?
  • Hvordan kan denne informasjonen hjelpe gruppa med å løse «Siste utfordring»?

Mulig støtte

Oppmuntre gruppene til å ikke gå videre før alle i gruppa forstår. Byggesteinene kan deles ut i gruppa på en slik måte at hver enkelt elev får brukt sin sterke side.

Mulig utvidelse

Elevene kan få «Siste utfordring» uten å ha arbeidet med byggesteinene først.

Ressursen er utviklet av NRICH

Læreplankoblet
9,10