Andregradsfunksjoner V

Hvis vi enkelt kan skrive en andregradsfunksjon over på faktorisert form, kan vi fort finne nullpunktene, også uten å tegne graf.

Senere vil du se at det også er flere fordeler med å skrive en funksjon på faktorisert form. Vi bruker den faktoriserte formen av et uttrykk når vi skal avgjøre for hvilke x-verdier uttrykket er positivt og for hvilke det er negativt.

1. \(f(x)=(x+1)(x+4) = x^2+ 1\cdot x+ 4\cdot x +1\cdot4=x^2+5x+4\)
   Koeffisienten foran \(x = 1 + 4 = 5\)
   Konstantleddet \(=1\cdot4\)

2. \(f(x)=(x+p)(x+q) = x^2+(p+q)x+p\cdot q\)
   I funksjonen på formen \(f(x)=x^2+bx+c \) er \(b=p+q\) og \(c=p\cdot q\)

3. \(g(x)=(x-5)(x-2)= x^2+(-5-2)x+(-5)\cdot (-2)=x^2-7x+10\\ h(x)=(x-1)(x+5)=x^2+(-1+5)x+(-1)\cdot 5=x^2+4x-5 \)
4. Funksjonen \(s(x)=x^2+5x+6\) skal skrives på formen \(s(x)=(x+p)(x+q)\).
   Da får vi to likninger som må være oppfylt:
   \(p+q=5\\ p\cdot q =6\)
   Hvilke to tall kan oppfylle disse to kravene samtidig? Vi kan sette opp mulige par av tall og prøve oss fram, og huske at i disse oppgavene er p og q hele tall.:

   Likning	Mulige løsninger
   \(p\cdot q=6\)	p = 1 og q = 6	p = -1 og q = -6	p = 2 og q = 3	p = -2 og q = -3
   \(p+q=5\)	p + q = 7	p + q = -7	p + q = 5	p + q = -5
   	Nei	Nei	Ja	Nei

   
   Vi ser at vi må ha p = 2 og q = 3. Da blir faktoriseringen av funksjonsuttrykket slik:
   \(s(x)=x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\).
   Nullpunktene til s er x = -2 og x = -3.
   OBS! Når faktoren er (x + 2), er nullpunktet x = -2, fordi denne x-verdien gjør at faktoren bli 0, (-2 + 2) = 0.
5. \(t(x)=x^2+2x-3 \)
   \(p+q=2 \) og \(p \cdot q= -3 \) gir \(p=3\) og \(q=-1\). Nullpunkter \(x=-3\) og \(x=1\)
   Vi kan skrive funksjonen på faktorisert form, \(t(x)=(x+3)(x-1)\). \(x=-3\) og \(x=1\) er nullpunkter, for det er disse to x-verdiene som gjør funksjonen lik 0.
   
   \(u(x)=x^2-5x+6\)
   \(p+q=-5\) og \(p\cdot q=6\) gir \(p=-2\) og \(q=-3\). Nullpunkter \(x=2\) og \(x=3\).
   Vi kan skrive funksjonen som \(u(x)=(x-2)(x-3)\). Det er \(x=2\) og \(x=3\) som gjør denne funksjonen lik 0, så dette er funksjonens nullpunkter.
   Kontroll:
6. Funksjonen \(v(x)=x^2+bx+c\) har nullpunkter i \(x=-1\) og \(x=2\).
   Da er funksjonen på faktorisert form \(v(x)=(x+1)(x-2)\), og \(b=1-2=-1 \) og \(c=1 \cdot (-2)=-2\)
7. Funksjonsuttrykket til en funksjon med nullpunkter i \(x=3\) og \(x=-7\) blir
   \(f(x)=(x-3)(x+7)=x^2+(-3+7)x+(-3) \cdot 7= x^2+4x-21\)
   Kontroll:
   
8. \(f(x)=x^2+9x+20 \) har nullpunkter i \(x=-4\) og \(x=-5\)
    \(g(x)=x^2-13x+30 \) har nullpunkter i \(x=3\) og \(x=10\)
    \(h(x)=x^2-6x+9 \) har nullpunkt i \(x=3\), fordi \(h(x)=(x-3)^2\)
9.  
   
   a.  De to grafene har ulik form, men de har sammenfallende nullpunkt. Da må de inneholde de samme faktorene hvis vi faktoriserer funksjonsuttrykkene.
   b.  \(g(x)=2(x^2-2x-3)\). Når vi faktoriserer, står funksjonsuttrykket til d inne i parentesen.
   c.  \(d(x)=x^2-2x-3=(x+3)(x-1)\) og \(g(x)=2(x^2-2x-3)= 2(x+3)(x-1)\). Funksjonene inneholder de samme faktorene (parentesene) som inneholder x, men i tillegg har g faktoren 2.
   d.  Alle funksjoner som har de samme to parentesene som faktorer har de samme nullpunktene. Vi kan lage uendelig mange slike funksjonsuttrykk ved å føye til en tallfaktor, positiv eller negativ (men ikke 0). For hver nye tallfaktor forandres grafens form, men nullpunktene er de samme.
10. a.  \(h(x)=3x^2-3x-60=3(x^2-x-20)=3(x-5)(x+4)\)    Nullpunkter: \(x=5\) og \(x=4\)
    b.  \(k(x)=7x^2+35x-42=7(x^2+5x-6)=7(x-1)(x+6) \)    Nullpunkter: \(x=1\) og \(x=-6\)
    c.  \(h(x)=-2x^2+20x-48=-2(x^2-10x+24)=-2(x-4)(x-6)\)    Nullpunkter: \(x=4\) og \(x=6\)