Knock-out
Problem
En bordtennisturnering for 2n deltakere har n omganger. Den er organisert som en knockout-turnering der to og to deltakere tilfeldig velges ut til å spille mot hverandre. Vinnerne av omgangen går videre til neste omgang. For hver ny omgang velges det tilfeldig hvem som skal spille mot hverandre. Siste omgang (n-te omgang) er finalen.
Før turneringen starter, peker vi ut to tilfeldig valgte spillere. Hva er sannsynligheten for at disse to kommer til å spille mot hverandre i en eller annen omgang i turneringen?
Vi antar i dette tankeeksperimentet at alle spillerne er like gode, og at sannsynligheten for å vinne og tape en kamp er like stor for alle spillerne i alle kampene.
Starthjelp
- Hva er sannsynligheten for at de to spillerne møtes i første runde?
- Hva er sannsynligheten for at begge spillerne går videre til andre runde?
- Hva er sannsynligheten for at de to spillerne møtes i andre runde?
Løsning
Vi kaller de to spillerne vi har pekt ut og vil følge med på, spiller A og spiller B. Uten å forandre på sannsynlighetene kan vi anta at spiller A trekkes ut først. Sannsynligheten for at B trekkes ut til å spille mot A, er da p=12n−1.
Sannsynligheten for at B ikke trekkes ut til å spille mot A, er da 1−12n−1.
Sannsynligheten for at A vinner sin match, er den samme som sannsynligheten for at B vinner sin match, nemlig 12.
Sannsynligheten for at B trekkes ut til å spille mot A, og at både A og B vinner sine matcher og går videre til neste runde, er (1−12n−1)⋅12⋅12=2n−22n−1⋅14=2n−1−12⋅(2n−1)
I andre runde er antall spillere halvert, det vil si at det er igjen 2n−1 spillere. Sannsynligheten for at A og B blir trukket til å spille mot hverandre i andre runde, er lik sannsynligheten for at begge går videre fra første runde, og at de trekkes ut i et par i andre runde: 2n−1−12⋅(2n−1)⋅1(2n−1−1)=12⋅(2n−1)=12p
Sannsynligheten for at de møtes i andre runde, er halvparten av sannsynligheten for at de møtes i første runde.
I tredje runde er antall deltakere på nytt halvert, og med tilsvarende resonnement kan vi finne at sannsynligheten for at de møtes i tredje runde, er halvparten av sannsynligheten for at de møtes i andre runde. Og sannsynligheten for at de møtes i n-te runde, er halvparten av sannsynligheten for at de møtes i runde nummer n – 1.
Sannsynligheten for at A og B møtes til match i første runde eller i andre runde eller i tredje runde … eller i n-te runde, er da:
p+12p+14p+...+12n−1p=12n−1(11+12+14+...+12n−1)=12n−1⋅1⋅(12)n−112−1=12n−1⋅2n−12n−1=12n−1
Så sannsynligheten for at de to spillerne møtes en eller annen gang under turneringen, hvis det er 2n spillere, er 12n−1.
Ressursen er utviklet av NRICH