Læreplankoblet

Knock-out

Stikkord: Sannsynligjet

Problem

Mange par som er klare til å spille bordtennis.

En bordtennisturnering for 2n deltakere har n omganger. Den er organisert som en knockout-turnering der to og to deltakere tilfeldig velges ut til å spille mot hverandre. Vinnerne av omgangen går videre til neste omgang. For hver ny omgang velges det tilfeldig hvem som skal spille mot hverandre. Siste omgang (n-te omgang) er finalen.

Før turneringen starter, peker vi ut to tilfeldig valgte spillere. Hva er sannsynligheten for at disse to kommer til å spille mot hverandre i en eller annen omgang i turneringen?

Vi antar i dette tankeeksperimentet at alle spillerne er like gode, og at sannsynligheten for å vinne og tape en kamp er like stor for alle spillerne i alle kampene.

Starthjelp

  • Hva er sannsynligheten for at de to spillerne møtes i første runde?
  • Hva er sannsynligheten for at begge spillerne går videre til andre runde?
  • Hva er sannsynligheten for at de to spillerne møtes i andre runde?

Løsning

Vi kaller de to spillerne vi har pekt ut og vil følge med på, spiller A og spiller B. Uten å forandre på sannsynlighetene kan vi anta at spiller A trekkes ut først. Sannsynligheten for at B trekkes ut til å spille mot A, er da p=12n1.

Sannsynligheten for at B ikke trekkes ut til å spille mot A, er da 112n1.

Sannsynligheten for at A vinner sin match, er den samme som sannsynligheten for at B vinner sin match, nemlig 12.

Sannsynligheten for at B trekkes ut til å spille mot A, og at både A og B vinner sine matcher og går videre til neste runde, er (112n1)1212=2n22n114=2n112(2n1)

I andre runde er antall spillere halvert, det vil si at det er igjen 2n1 spillere. Sannsynligheten for at A og B blir trukket til å spille mot hverandre i andre runde, er lik sannsynligheten for at begge går videre fra første runde, og at de trekkes ut i et par i andre runde: 2n112(2n1)1(2n11)=12(2n1)=12p

Sannsynligheten for at de møtes i andre runde, er halvparten av sannsynligheten for at de møtes i første runde.

I tredje runde er antall deltakere på nytt halvert, og med tilsvarende resonnement kan vi finne at sannsynligheten for at de møtes i tredje runde, er halvparten av sannsynligheten for at de møtes i andre runde. Og sannsynligheten for at de møtes i n-te runde, er halvparten av sannsynligheten for at de møtes i runde nummer n – 1.

Sannsynligheten for at A og B møtes til match i første runde eller i andre runde eller i tredje runde … eller i n-te runde, er da:

p+12p+14p+...+12n1p=12n1(11+12+14+...+12n1)=12n11(12)n1121=12n12n12n1=12n1

Så sannsynligheten for at de to spillerne møtes en eller annen gang under turneringen, hvis det er 2n spillere, er 12n1.

Ressursen er utviklet av NRICH

10