Binomisk eller ikke?
Aktivitet
Nedenfor er 12 situasjoner beskrevet. Avgjør hvilke av dem som kan modelleres med binomisk sannsynlighetsfordeling.
En måte å beskrive egenskapene ved binomisk fordeling på er slik: \(B(n,p)\). Her står \(n\) for antall forsøk, og \(p\) står for sannsynligheten for «å lykkes». Hvilke krav må være oppfylt for at en serie forsøk skal kalles binomisk? Hva er \(n\) og \(p\) lik i de tilfellene som kan beskrives med en binomisk modell?
For de situasjonene som ikke kan modelleres med binomisk fordeling, må du forklare hvorfor. Kunne du ha gjort noen små forandringer i situasjonen, slik at den kunne modelleres som binomisk? Er binomisk fordeling en brukbar tilnærming til situasjonen?
1) I en skål er det røde, grønne og blå kuler. 10 kuler trekkes opp av skåla, tilfeldig, en og en om gangen. Fargen blir registrert, og kula slippes så tilbake i skåla.
2) En mynt kastes helt til man får mynt. Antall kast blir notert.
3) Antall dager med regn i Bergen i april blir registrert.
4) Elevene i en klasse tar den samme matematikkprøven. Antall elever som skårer over 80 %, blir registrert.
5) Fem mynter er limt fast på en bit gjennomsiktig plast. Plastbiten med myntene kastes opp i lufta, og det registreres hvor mange mynter som lander med kronesiden opp.
6) En mann spiller i et lotteri hver uke. Hver gang denne mannen vinner en premie i løpet av et år, blir det registrert.
7) En kreftmedisin blir testet. 1000 pasienter får medisinen, og det registreres hvor mange av dem som dør i løpet av fem år.
8) En basketballspiller øver på å kaste ballen i kurven. Han teller hvor mange vellykkede kast han har per 10 kast.
9) I en skål er det røde og blå kuler. 10 kuler trekkes tilfeldig opp av skåla, en og en om gangen. Fargen blir registrert, og kula slippes så tilbake i skåla.
10) En eske inneholder penner. Noen virker, andre ikke. 10 penner tas samtidig ut av boksen, og antall penner som virker, blir registrert.
11) I en bag er det røde, grønne og blå baller. 10 baller tas ut av bagen, en om gangen, og slippes tilbake med en gang. Det telles opp hvor mange av ballene som var grønne.
12) En bonde sår frø på en åker. Det er angitt en viss spiringsprosent for frøene, det vil si hvor mange prosent av frøene man regner med skal spire og bli til levedyktige planter. Antall frø som gir opphav til nye planter på åkeren dette året, blir registrert.
Starthjelp
- Hvilke krav stilles til en situasjon som kan modelleres med en binomisk sannsynlighetsfordeling? Skriv dem gjerne ned punktvis.
- Sjekk om hvert av kravene du noterte, er oppfylt i hver av situasjonene i oppgavene ovenfor.
- Hvis du mener at en sitasjon ikke kan ha en binomisk fordeling: Hvilke(t) krav er ikke oppfylt? Forklar hvorfor.
- Merk at «å lykkes» bare er betegnelsen på det utfallet vi teller i hver situasjon.
Løsning
Det finnes mange mange måter å løse denne oppgaven på. Send oss gjerne dine forslag!
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne oppgaven?
I tillegg til at elevene skal lære å bruke formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling, er det viktig at de lærer å avgjøre om en situasjon kan modelleres binomisk eller ikke. I mange oppgaver er det tatt forbehold som gjør at elevene får øving i å beregne binomisk sannsynlighet i en virkelighetsnær situasjon. Men det er risiko for at kravene som må være oppfylt for å kunne bruke binomisk sannsynlighet, kan bli uklare og ubetydelige. De tolv situasjonene i denne aktiviteten berører mange misoppfatninger og misforståelser med hensyn til binomisk sannsynlighetsfordeling, så vel som situasjoner fra virkeligheten, som gjerne kan modelleres med binomisk fordeling, selv om det ikke er helt eksakt. Vi ønsker å hjelpe elevene til å kunne se forskjellen på situasjoner som kan modelleres med binomisk fordeling, og situasjoner der det ikke går – styrke de mentale bildene de lager seg rundt begrepet.
Mulig tilnærming
Denne aktiviteten kan gjerne være en helklasseaktivitet. Presenter en og en situasjon om gangen, og be elevene vurdere om de kan bruke binomisk fordeling eller ikke. La dem diskutere litt parvis først. Spør så hvem som mener det er binomisk, og hvem som mener det ikke er det. Så kan to elever med ulike oppfatninger argumentere for sitt syn, før hele klassen involveres i samtalen.
En alternativ tilnærming er å skrive ut alle de tolv situasjonene – en kopioriginal finnes her. Så er oppgaven å sortere situasjonene etter hvorvidt de kan modelleres binomisk eller ikke. Mange av situasjonene ligner hverandre, men det er små forskjeller som avgjør. Det kan hjelpe elevene til lettere å kunne skille mellom binomiske og ikke-binomiske situasjoner.
Still spørsmålene som er gitt i oppgaven: Hvilke av situasjonene kan modelleres med binomisk sannsynlighetsfordeling? For de situasjonene som ikke kan modelleres med binomisk fordeling, må du forklare hvorfor. Kunne du ha gjort noen små forandringer i situasjonen, slik at den kunne modelleres som binomisk? Er binomisk fordeling en brukbar tilnærming til situasjonen?
Elevene kan også få i oppgave å finne lignende situasjoner og utfordre hverandre til å vurdere hvorvidt de er binomiske eller ikke.
Gode veiledningsspørsmål
- I hvilke sitasjoner kan sannsynlighetsfordeling nesten helt sikkert ikke anvendes? Hvilke krav må være oppfylt?
- Hva kan gjøre at en binomisk fordeling ikke kan anses som en passende modell?
Mulig utvidelse
I hvilke situasjoner kan binomisk fordeling være en god tilnærming? Diskuter i klassen hvilke tilnærminger man må gjøre i de enkelte situasjonene.
Mulig støtte
Skriv ned kravene til binomisk sannsynlighetsfordeling. Sjekk om hvert av kravene er oppfylt for hver situasjon du skal vurdere. Hvilke krav er eventuelt ikke oppfylt? Hva skal til for å oppfylle disse kravene?
Kravene som må være oppfylt for at en binomisk sannsynlighetsmodell skal kunne anvendes på en situasjon:
- Situasjonen består av et gitt antall like forsøk der en hendelse inntreffer eller ikke. Hvert forsøk har bare to mulige utfall.
- Vi teller hvor mange ganger det ene utfallet inntreffer, og vi kaller ofte dette utfallet «å lykkes». («Å lykkes» er bare et uttrykk for å skille ut det utfallet vi teller.)
- Sannsynligheten (p) for «å lykkes» er den samme i hvert forsøk.
- Utfallene av hvert forsøk er uavhengige av utfallene i de andre.
Ressursen er utviklet av NRICH