Delvis malt kube
Aktivitet
Amina satte sammen en kube av mange små kuber. Hun malte noen av sideflatene på den store kuben, og så tok hun den fra hverandre igjen. Når hun kontrollerte de små kubene, viste det seg at 45 av dem ikke hadde fått maling på seg.
Kan du finne ut hvor mange små kuber Amina hadde brukt for å lage den store kuben, og hvilke sider på den store kuben hun hadde malt?
Dan satte sammen en kube som var like stor som Aminas, og også han malte noen av sidene på den store kuben.
Hvor mange umalte små kuber kan Dan ende opp med når han deler den store kuben opp i småkuber igjen?
Undersøk antall umalte kuber som finnes i store kuber med andre størrelser. Dette er noen spørsmål du kan tenke over:
- Hvis antall små kuber langs hver side er n, kan du da finne et uttrykk for antall umalte kuber hvis du maler 1, 2, 3, 4, … sider?
- Antall umalte kuber kan alltid uttrykkes som et produkt av tre faktorer. Hva kan du si om disse faktorene?
- Det er bare én måte å ende opp med 45 umalte små kuber. Finnes det noe antall kuber du kan få på mer enn én måte?
- Hvordan kan du overbevise deg selv om at det er umulig å ende opp med 50 små umalte kuber?
Starthjelp
- På hvor mange forskjellige måter kan du male to sider av en kube? Tre sider? Fire sider?
- Kan du finne en måte å regne ut hvor mange umalte kuber det vil bli i hvert av disse tilfellene?
Løsning
Amina må ha satt sammen 125 små kuber til en 5 x 5 x 5-kube, og hun hadde malt fire sider, slik at to motstående sider var umalt. Da hadde 80 små kuber fått maling, og 45 små kuber var umalt. (Se rødt tall i tabellen nedenfor.)
Her er en tabell over antall kuber som har fått maling på seg:
|
Kubens størrelse |
Antall små kuber |
1 side malt |
2 motstående sider malt |
2 tilstøtende sider malt |
3 sider malt i et hjørne |
3 sider malt, ikkeet hjørne |
4 sider malt, 2 motstående sider umalt |
|
2 x 2 x 2 |
8 |
4 |
8 |
6 |
7 |
8 |
8 |
|
3 x 3 x 3 |
27 |
9 |
18 |
15 |
19 |
21 |
24 |
|
4 x 4 x 4 |
64 |
16 |
32 |
28 |
37 |
40 |
48 |
|
5 x 5 x 5 |
125 |
25 |
50 |
45 |
61 |
65 |
80 |
|
6 x 6 x 6 |
216 |
36 |
72 |
66 |
91 |
96 |
120 |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
n x n x n |
n3 |
n2 |
2n2 |
2n2 – n |
n3 – (n – 1)3 |
3n2 – 2n |
4n2 – 4n |
|
Kubens størrelse |
4 sider malt, 2 tilstøtende sider umalt |
5 sider malt |
6 sider malt |
|
|
2 x 2 x 2 |
8 |
8 |
8 |
|
|
3 x 3 x 3 |
23 |
25 |
26 |
|
|
4 x 4 x 4 |
49 |
52 |
56 |
|
|
5 x 5 x 5 |
77 |
89 |
98 |
|
|
6 x 6 x 6 |
116 |
136 |
152 |
|
|
… |
|
|
|
|
|
n x n x n |
n3 – (n – 1)3 + (n – 1)2 |
5n2 – 8n + 4 |
6n2 – 12n + 8 |
|
Ut fra tabellen ovenfor kan vi lage en oversikt over antall umalte kuber:
|
Kubens størrelse |
Antall små kuber |
1 side malt |
2 motstående sider malt |
2 tilstøtende sider malt |
3 sider malt i et hjørne |
3 sider malt, ikke et hjørne |
|
2 x 2 x 2 |
8 |
4 |
0 |
2 |
1 |
0 |
|
3 x 3 x 3 |
27 |
18 |
9 |
12 |
8 |
6 |
|
4 x 4 x 4 |
64 |
48 |
32 |
36 |
27 |
24 |
|
5 x 5 x 5 |
125 |
100 |
75 |
80 |
64 |
60 |
|
6 x 6 x 6 |
216 |
180 |
144 |
150 |
125 |
120 |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
n x n x n |
n3 |
n3 – n2 = n2 (n – 1) |
n3 – 2n2 = n2 (n – 2) |
n3 – 2n2 + n = n (n – 1)2 |
(n – 1)3 |
n3 – (3n2 – 2n) = n(n – 2)(n– 1) |
|
Kubens størrelse |
4 sider malt, 2 motstående sider umalt |
4 sider malt, 2 tilstøtende sider umalt |
5 sider malt |
6 sider malt |
|
2 x 2 x 2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 x 3 x 3 |
3 |
4 |
2 |
1 |
|
4 x 4 x 4 |
16 |
15 |
12 |
8 |
|
5 x 5 x 5 |
45 |
48 |
36 |
27 |
|
6 x 6 x 6 |
96 |
100 |
80 |
64 |
|
… |
|
|
|
|
|
n x n x n |
n3 – (4n2 – 4n) = n(n – 2)2 |
(n – 1)3 – (n – 1)2 = (n – 2)(n – 1)2 |
n3 – 5n2 + 8n - 4 = (n – 2)2 (n – 1) |
n3 – 6n2 + 12n – 8 = (n – 2)3
|
I den nederste raden ser vi at alle de generelle uttrykkene lar seg faktorisere i tre faktorer.
Hver gang vi maler noen sideflater, vil kubene som står igjen umalt inne i den store kuben, danne et rett prisme. Disse tre faktorene representerer sidelengdene i disse prismene.
Siden 45 = 5 ∙ 3 ∙ 3 = 5(5 – 2)(5 – 2), ser vi at i Aminas kube vil det stå igjen et umalt prisme med målene 5 ∙ 3 ∙ 3 inne i kuben.
Er det mulig å bli stående igjen med 50 umalte små kuber? 50 kan skrives som et produkt av tre faktorer, 50 = 2 ∙ 5 ∙ 5, men differansen mellom faktorene er mer enn 2, og det er umulig. (Se på uttrykkene som er faktorisert, det er bare tre mulige faktorer i de generelle uttrykkene, n, (n – 1) og (n – 2).)
Tabellene ovenfor viser at det er noen antall umalte kuber som vi kan få på flere måter, se de blå tallene.
Lærerveiledning
Hvorfor arbeide med denne oppgaven?
Det er mange måter å løse dette problemet på, så det er en fin anledning til å la elevene dele erfaringer og sammenligne og vurdere de ulike måtene å arbeide på.
Elevene får her anledning til å lage algebraiske uttrykk som de normalt ikke møter. De må lage kubiske uttrykk som relaterer seg til de fysiske egenskapene som figurene representerer.
I denne oppgaven kan de også oppleve hvordan en matematiker arbeider. De får et utgangspunkt, og ut fra det må de stille sine egne spørsmål og styre sine egne undersøkelser, lage seg hypoteser og til slutt bevise hypotesene (hvis de er riktige).
Oppgaven er godt egnet for samarbeid, den passer både for elever som er uvant med samarbeidsoppgaver, og for elever som er fortrolige med arbeidsformen.
Mulig tilnærming
Du finner oppgaven på en denne kopioriginalen.
Den egner seg godt for samarbeid i grupper på fire og fire elever.
Del ut oppgavearket fra kopioriginalen. Gjør det klart for elevene at alle må være forberedt på å dele det de har funnet ut, ved avslutningen av arbeidet.
Sørg for å ha dette tilgjengelig for elevene: isometrisk papir, kuber, fargeblyanter og eventuelt store ark til presentasjonen (se nedenfor).
Når gruppene har arbeidet seg gjennom de to første spørsmålene (det kan ta mer tid enn en time), kan læreren samle klassen til en felles samtale der elevene kan dele tanker, spørsmål og ideer til hvordan de skal gjøre undersøkelsene sine. På oppgavearket er det noen forslag til problemstillinger som kan brukes for å få elevene i gang hvis de ikke kommer med forslag selv.
Det kan være en fordel at hver gruppe samler løsningene sine på en stor poster. Det kan være lettere for klassen å følge presentasjonen deres hvis de får se godt forberedte og gjennomarbeidede figurer og resonnement.
Presentasjonen kan ordnes på ulike måter:
- Hver gruppe kan få noen minutter til å presentere resultatene sine. De kan få lov til å stille spørsmål om noe de har vært usikre på. Etter presentasjonen er det åpent for positive tilbakemeldinger fra klassen. Til slutt er det åpent for forslag til hvordan gruppen kunne ha forbedret resultatene.
- Alle posterne med presentasjoner henges opp i klasserommet, men bare et par av gruppene velges ut til å presentere for klassen. Positive tilbakemeldinger og gode råd kan gis på samme måte som i forslaget ovenfor. Til slutt kan alle få anledning til å supplere med noe de har gjort annerledes.
- To elever fra hver gruppe flytter over til nabogruppa og de får høre hva denne gruppa har funnet ut. «De besøkende» er kritiske venner som skal kreve klare matematiske forklaringer og begrunnelser. De skal også fortelle hva de har gjort annerledes i sin gruppe.
Gode veiledningsspørsmål
- Hvilken form har figuren som består av umalte kuber inne i den store kuben? Hvordan kan du uttrykke dette algebraisk?
- Hva forteller dette om antall faktorer i antall umalte kuber?
- Det er bare én måte å ende opp med 45 umalte små kuber. Finnes det noe antall kuber du kan få på mer enn én måte?
- Hvordan kan du overbevise deg selv om at det er umulig å ende opp med 50 små umalte kuber?
Mulig utvidelse
Utled en metode for å avgjøre hvorvidt det kan bli et tilfeldig antall umalte kuber når større kuber males på én eller flere sider.
Ressursen er utviklet av NRICH