Halvmåner
Aktivitet
Trekanten ABC er rettvinklet, vinkel A er rett. Det er tegnet en halvsirkel på hver av sidene i trekanten. Da dannes det to «månesigder», slik de fargelagte områdene på figuren viser.
Kan du vise at arealet av de to månesigdene tilsammen er lik arealet av trekanten?
Starthjelp
• Du trenger ikke en gang å regne ut arealene for å bevise påstanden.
Løsning
Vi kan starte med å la halvsirkelen på hypotenusen vende den andre veien.
Ved Pytagoras’ setning kan vi vise at
Areal halvsirkel på AB + areal halvsirkel på AC = Areal halvsirkel på BC
Areal halvsirkel på BC:
\(\frac12 \pi \left(\frac{BC}{2}\right)^2=\frac{\pi}{8} (BC)^2\)
Areal halvsirkler på de to katetene:
\(\frac12 \pi \left(\frac{AB}{2}\right)^2+\frac12 \pi \left(\frac{AC}{2}\right)^2\\ =\frac{\pi}{8} \left((AB)^2+(AC)^2\right)\\ =\frac{\pi}{8} (BC)^2\\\)
Når vi lar halvsirkelen på hypotenusen vende inn over trekanten, vil toppunktet i den rette vinkelen, A, ligge på sirkelbuen. Så det vil alltid dannes to månesigder, uansett form på den rettvinklede trekanten.
Når halvsirkelen på hypotenusen vender innover i figuren ser vi at vi kan uttrykke arealet av de to månesigdene som
Areal trekant ABC + (areal halvsirkel på AB + areal halvsirkel på AC) – areal halvsirkel på BC
= areal trekant ABC
Ressursen er utviklet av NRICH