Så mange sirkler!

Stikkord: Artikkel Forhold

Problem

Figuren viser to sirkler og fire like store halvsirkelbuer. Arealet av den indre grå sirkelen er 1.

Hvor stort er arealet av den ytre sirkelen?

Sirkler på sirkler

Starthjelp

  • Hvor vil sentrum i de fire halvsirklene ligge?
  • Tegn inn diametrene i alle halvsirklene.

Løsning

Ut fra symmetrien i figuren vet vi at de to sirklene må være konsentriske, dvs. at de har sentrum i samme punkt. Kall dette punktet O.

Sirkler på sirkler på sirkler

La radiene i de fire halvsirklene være r.

Skjæringspunktene mellom halvsirklene og den indre sirkelen vil bli hjørnene i et kvadrat med sidelengder 2r. Sentrum i halvsirklene ligger midt på hver side i kvadratet. Den ytre sirkelens radius blir 2r.

Sirkler på sirkler, med vinkel i

Den indre sirkelens radius blir \(\sqrt{r^2+r^2} = \sqrt2 r\)

Forholdet mellom radiene i den lille og den store sirkelen er \(\sqrt2 r:2r =\sqrt2:2=1 : \sqrt2\)

Da er forholdet mellom arealene av de to sirklene \(1^2:(\sqrt2)^2 = 1 : 2\)

Altså er arealet av den ytre sirkelen 2.

Ressursen er utviklet av NRICH

10