Overlappende kvadrater

Problem

To kvadrater med sidelengde 2 er lagt over hverandre slik at det dannes en vinkel på 60o mellom dem, som figuren viser.

Hvor stort er arealet av området der de overlapper hverandre?

Overlappende kvadrater

Løsning

Løsning ved å dele området i rettvinklede trekanter

Overlappende kvadrater med gul og turkis trekant

 

I trekanten \(ABC\) er \(BC = 2\). Vi kan finne \(AC\):

\(tan\:30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}\\ tan\:\angle ABC= \frac{AC}{BC} = \frac{AC}{2}\\ \frac{AC}{2} = \frac{1}{\sqrt3}\\ AC=\frac{2}{\sqrt 3}\)

Arealet av trekanten ABC er

\(\frac12 \cdot BC \cdot AC= \frac12 \cdot 2\cdot \frac {2}{\sqrt3} = \frac {2}{\sqrt3}\)

Arealet av hele overlappingen er det dobbelte:

\(2 \cdot \frac{2}{\sqrt3}= \frac{4}{\sqrt3}\\ \frac{4}{\sqrt3} \approx 2,31\)


Løsning ved å dele overlappingen inn i trekanter

Overlappende kvadrater med grønn og lilla trekant


Vi bruker arealformelen på den grønne trekanten:

\(A=\frac12 ab \cdot sin60^\circ=\frac12 \cdot2\cdot2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\\ \sqrt3 \approx 1,73\)

Siden den grønne trekanten er likebeint og har en vinkel på \(60^\circ\), må de to øvrige vinklene også være \(60^\circ\). Siden som den grønne og den rosa trekanten har felles, er \(2\) cm lang. Dessuten må de to spisse vinklene i den rosa trekanten være \(30^\circ\). (Hvorfor?)

Rosa trekant

 

\(tan 30^\circ = \frac {h}1=h= \frac{1}{\sqrt3}\)

Areal av den rosa trekanten er

\(\frac12\cdot2 \cdot \frac{1}{\sqrt3} =\frac{1}{\sqrt3} \approx0,58\)

Arealet av hele overlappingen er da

\(1,73 + 0,58 = 2,31\)

Ressursen er utviklet av NRICH

10