Fire sirkler

Løsning ved å bruke et kvadrat til å tegne en rettvinklet trekant

Det blå linjestykket i figur 2 tangerer to av sirklene i punktet der de tangerer hverandre. De røde radiene i begge sirklene står normalt på tangenten, slik at radiene ligger i forlengelsen av hverandre og danner ett linjestykke.

Da kan vi tegne et kvadrat mellom sentrum i de fire sirklene. Sidekantene i kvadratet har lengde 2. (Siden figuren er symmetrisk, må det bli et kvadrat og ikke en rombe.)

Diameteren i den store sirkelen består av to radier med lengde 1, pluss diagonalen i kvadratet.

Vi regner ut diagonalen som hypotenus i en rettvinklet, likebeint trekant med kateter med lengde 2:

\(d=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2\)

Diameteren i den store sirkelen er \(2+2\sqrt2\), og radien i den store sirkelen er \(1+\sqrt2\)

Løsning ved å bruke en tangent til å tegne en rettvinklet trekant

Tangenten mellom to av de små sirklene vil på grunn av symmetri også være tangent mellom to av de andre (blå linje). Den vil gå gjennom sentrum i den store sirkelen.

Vi lager en trekant mellom sentrum i den store sirkelen, sentrum i den lille sirkelen og tangeringspunktet, slik figur 5 viser. Den ene kateten er radius i den lille trekanten ut til tangeringspunktet. Radien står normalt på tangenten, så trekanten er rettvinklet.

I figur 6 er trekanten forstørret. På grunn av symmetri vil trekanten ha vinkler på 45^o, så katetene er like lange. De har lengde 1. Da er avstanden mellom sentrene i den store og den lille sirkelen \(\sqrt2\) (bruk Pytagoras’ setning), og radius i den store sirkelen er \(1 + \sqrt2\).

Løsning ved å lage en rettvinklet trekant mellom sentrene

De to røde radiene på figuren danner et rett linjestykke som står vinkelrett på den blå tangenten.

Vi tegner en trekant der hjørnene er sentrum i de to små sirklene og sentrum i den store. Denne trekanten må være rettvinklet på grunn av symmetrien.

Vi regner ut \(x\):

\(x^2+x^2=2^2\\ 2x^2=4\\ x^2=2\\ x=\sqrt2\)

Radien i den store sirkelen er  \(x + 1 = \sqrt2 + 1\).