Trigonometrisk likhet

Stikkord: Vinkler i sirkel Trigonometri

Problem

Sirkel med trekant i

Figuren viser en enhetssirkelenEnhetssirkelen er en sirkel der radien er 1 og omkretsen er 2π. Det er vanlig å sette sirkelen i et koordinatsystem, med sentrum i origo. med sentrum i O.

Bruk figuren til å utlede en formel for \(\sin 2u \)

Løsning

Sirkel med trekant og gradbenevnelser i

Sentralvinkelen BOC spenner over samme bue som periferivinkelen BAC. Da er vinkel BOC = 2u.

Vi har mange rettvinklede trekanter:

\(\bigtriangleup AOE \text{ gir } AE = \cos u, \text{ så } AC = 2\cos u.\\ \bigtriangleup ODC \text{ gir } CD = \sin 2u. \)

\(\text{I}\bigtriangleup ADC \text{ er } \sin u = \frac{\sin 2u}{2\cos u}\), og denne likningen gir oss sammenhengen

\(\sin 2u = 2 \sin u  \cos u\)

Ressursen er utviklet av NRICH

10