Kvarter
Problem
Fire kongruenteTo figurer er kongruente dersom alle sider og alle vinkler er parvis like store. To kongruente figurer vil kunne dekke hverandre fullstendig om de plasseres oppå hverandre, det vil si at to figurer er kongruente når de har lik form og størrelse. likesidede trapes(*) er plassert inne i et kvadrat PQRS slik at de lengste av de parallelle sidene ligger langs diagonalene, som figuren viser. Punktet X deler PQ i forholdet 3 : 1.
Hvor stor del av kvadratet er svart?
(*) I et likesidet trapes er de to sidene som ikke trenger å være parallelle, like lange. De danner samme indre vinkel med den lengste av de parallelle sidene, og dermed også med den korteste av de parallelle sidene.
Løsning
Figuren viser området som ligger øverst og til høyre i det store kvadratet.
QXYZ er det svarte trapeset. Forlengelsen av ZY skjærer PQ i W.
Fordi trapeset er likesidet, er \(\angle\)QZY = \(\angle\)ZQX = 45°. Siden YX || ZQ, er også \(\angle\)XYW = \(\angle\)WXY = 45°, og trekantene WYX og WZQ er likebeinte, rettvinklede trekanter.
Da \(\angle\)ZWQ = 90° og Z ligger i sentrum av kvadratet PQRS, kan vi slutte at W er midtpunktet på PQ.
Og siden PX : XQ = 3 : 1, må W ligge midt på PQ og X midt på WQ. Når forholdet mellom sidene i de to formlike trekantene XYW og QZW er 1 : 2, er forholdet mellom arealene 1 : 4. Med andre ord utgjør trapeset ZQXY \(\frac 34\) av \(\triangle\)ZQW. Og \( \triangle\)ZQW utgjør \( \frac 18\) av kvadratet PQRS, så ett av de fire kvadratene utgjør \(\frac34 \cdot \frac18=\frac {3}{32}\) av det store kvadratet.
Vi har fire like trapeser, og til sammen utgjør de \(\frac {3}{32} \cdot 4 = \frac 38\) av det store kvadratet.
Ressursen er utviklet av NRICH