Perlesmykker

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Denne LIST-oppgaven gir elever mulighet til å utvikle og bekrefte sin forståelse av linjesymmetri, til å verdsette systematisk arbeid og til å utvikle eller bli introdusert for bevisføring.

Mulig tilnærming

De fleste elevene vil dra nytte av konkrete hjelpemidler når de arbeider med denne oppgaven. Perler og hyssing er åpenbare hjelpemidler, men kan også være en kilde til frustrasjon, da det vil gå mye tid til å bytte om på rekkefølgen av perlene. Centikuber/multilink eller lignende kan være et bedre alternativ, så kan smykkene heller lages senere når alle løsninger er funnet. Det kan være lurt å lage noen store modeller som du kan holde opp og vise fram for hele klassen, eventuelt ved hjelp av en projektor.

Du kan introdusere oppgaven mens du lager et symmetrisk smykke sammen med elevene i plenum. La dem arbeide i par når de skal lage så mange andre symmetriske smykker som mulig. Når de har funnet så mange som de tror er mulig, kan de tegne dem på papirremser (f.eks. klippe ut fra denne kopioriginalen (LINK)). Elevene kan organisere og bytte om på rekkefølgen hvis du deler ut papirremser i stedet for hele ark.

Kan elevene nå organisere smykkene sine slik at de kan forsikre seg om at de har funnet alle mulige kombinasjoner?

Den mest vanlige responsen er at smykkene «kommer i par», der det ene er det omvendte av det andre (med røde og blå perler blir det RRBBBBRR og BBRRRRBB). Trekk fram at dette er en hjelp til å forstå at det må finnes et partall kombinasjoner, men det beviser ikke at vi har funnet alle – det kan fortsatt være ett eller flere par vi ikke har funnet ennå.

Gi elevene noe tid til å reorganisere deres egne smykker, og dersom noen tror at de har funnet en måte å vise at de har funnet alle kombinasjoner på, kan du be dem om å komme fram og vise det for hele klassen ved hjelp av de store modellene. Om ingen har slike forslag, kan du la elevene arbeide videre med dette, kanskje også hjemme, før du viser beviset nedenfor.

Fokuser på smykkene som begynner med en rød perle.
Organiser dem slik at den andre røde perlen er på plass nummer 2, på plass nummer 3 og på plass nummer 4.

RRBB BBRR
RBRB BRBR
RBBR RBBR

Dette må være alle smykkene som begynner med en rød perle, siden den andre røde perlen har blitt plassert på alle de tre andre plassene (husk at smykkene skal være symmetriske, så det må være like mange røde og blå perler før og etter midtpunktet). Om det finnes tre smykker som begynner med rød perle, må det også finnes tre som begynner med blå perle.

Gode veiledningsspørsmål

• Kan du lage et annet smykke?
• Hvorfor er disse smykkene forskjellige?
• Hvorfor er disse like?
• Hvordan vet du at de er symmetriske?
• Er mønsteret ditt det samme som … sitt?
• Tror du det finnes flere? Hvorfor eller hvorfor ikke?
• Kan du vise eller forklare hvorfor du tror du har funnet alle mulige kombinasjoner?

Mulig utvidelse

Noen elever vil veldig gjerne forsvare påstanden sin om at de har funnet alle mulige kombinasjoner. Lytt til disse forklaringene, som gir elevene mulighet til å resonnere matematisk, og kan vitne om en begynnende forståelse av matematiske bevis.

Når elevene har overbevist deg, kan du gi dem den samme oppgaven med ni perler, fem av én farge og fire av en annen. Hvilken forskjell vil det utgjøre? Hva med 10, 11 osv.? Kan de formulere regler som sier noe om antall perler som trengs for å lage symmetriske smykker med to farger?

Mulig støtte

Å lage mer enn ett smykke kan være utfordrende for noen elever, og å overføre et mønster presist til papir kan også være vanskelig. Støtt dem for eksempel ved å be dem se etter like mønstre med forskjellige farger. BRRBBRRB er det samme underliggende mønsteret som BGGBBGGB. Å generalisere på en slik måte er en viktig del av det å tenke som en matematiker.