Summar

1    Løysing ved å bruke det siste sifferet

Siste siffer i 10 etterfølgjande tal er alle siffera frå og med 0 til og med 9. Viss vi legg dei saman, får vi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 8 + 9 = 45. Det bety at om vi legg saman 10 etterfølgjande tal, vil summen alltid ende på 5.

2012 ender på 2, så David må ha fjerna eit tal som ender på 3. I ei mengd på 10 etterfølgjande tal vil alle ende på ulike siffer, så det er berre eitt tal som endar på 3, blant 10 tal som følgjer etter kvarandre.
Dei 9 tala som er igjen, er etterfølgjande tal, men med eitt som manglar. Talet kan ikkje vere så langt unna 2012 : 9 = 223,5.
223,5 er nær 223, som endar på 3, så dette er løysinga: David tok bort talet 223.

2    Løysing ved å bruke det siste sifferet

Vi kan skrive summen av 10 etterfølgjande tal som

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6) + (n + 7) + (n + 8) + (n + 9) =

10n + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 8 + 9 =

10n + 45

10n ender på 0, så 10n + 45 ender på 5. 2012 ender på 2, så David må ha fjerna eit tal som ender på 3. I ei mengd på 10 etterfølgjande tal vil alle ende på ulike siffer, så det er berre eitt tal som endar på 3, blant 10 tal som følgjer etter kvarandre.
Dei 9 tala som er igjen, er etterfølgjande tal, men med eitt som manglar. Talet kan ikkje vere så langt unna 2012 : 9 = 223,5.
223,5 er nær 223, som endar på 3, så dette er løysinga: David tok bort talet 223.

3    Prøving og feiling

Dei 10 følgjande tala minus det eine som er fjerna, må liggje ganske nær 2012 : 9 = 223,5.

Prøv med å leggje saman dei 10 tala frå 218 til 227. Summen blir 2225, som er 213 meir enn 2012. Sidan 213 ikkje er blant tala 218 – 227, kan ikkje dette vere ei løysing.

Prøv med å leggje saman dei 10 tala frå 219 til 228. Summen blir 10 meir enn 2225 (sidan vi har lagt 1 til kvart av dei 10 tala), altså 2235. Det er 223 meir enn 2012, og sidan 223 er blant tala 219 – 228, må dette vere ei løysing. David må ha fjerna talet 223.

Finst det fleire løysingar? Prøv med å leggje saman dei 10 tala frå 220 til 229. Summen blir 2245, som er 233 meir enn 2012. Sidan 233 ikkje er blant tala 220 – 229, kan ikkje dette vere ei løysing.

4    Algebraisk løysing

La dei 10 følgjande tala vere n, n + 1, n + 2 … n + 9. Gå ut frå at David fjerna talet n + i, der i er eit heilt tal mellom 0 og 9.

Sidan n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6) + (n + 7) + (n + 8) + (n + 9) = 10n + 45,
vil summen av tala når n + i er fjerna, bli 10n + 45 – (n + i) = 9n + 45 - i.

Dette gir likninga 9n + 45 – i = 2012.

Det minste i kan vere, er 0, og viss i = 0, er 9n + 45 = 2012, og vi får 9n = 1967 og n = 218,5.
Det største i kan vere, er 9, og viss i = 9, er 9n + 36 = 2012, og vi får 9n = 1976 og n = 219,5.
n skal vere eit heilt tal mellom 218,5 og 219,5. Då må n vere 219.

Så

9 • 219 + 45 – i = 2012
2016 – i = 2012
i = 4

Talet David fjerna, var n + i = 219 + 4 = 223