Læreplankoblet

Rask summering

Stikkord: Introduksjon til aritmetiske rekker

Aktivitet

I videoen nedanfor rekner Harald ut summen \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i\).

Bruk Haralds metode til å rekne ut følgjande:

  1.   \(\displaystyle\sum_{i=1}^{100}i\)
     
  2.   \(2+4+6\:+\:...\:+\:96+98+100\)
     
  3.   \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(4k+12)\)
     
  4.   \(37+42+47+52\:+\:...\:+\:102+107+112\)
     
  5.   Summen av dei n første ledda i følgja: \(a,\:(a+d),\:(a+2d),\:(a+3d),\:...\)
     
  6.   Kor mange ledd må vi ha med for at summen \(17+21+25\:+\:...\) skal blir større enn \(1000\)?
     
  7.   Summen av alle heile tal mindre enn \(1000\) som ikkje er delelige med \(2\) eller \(3\).
     
  8.   Finn ei følgje av følgjande heiltal som er slik at summen av dei blir \(32\).

 

Starthjelp

  • Oppgåve 1 og 3: Skriv ut uttrykka som ein sum slik at du ser ledda.
  • Kan de bruke Haralds metode på summane i oppgåva?
  • Oppgåve 5: Kva blir det n-te leddet i summen?
  • Kva må de passe på for at det skal bli rett? Kvar er det lett å gjere feil?

 

Løysing

  1. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{100}i=5050\)
     
  2. \(2+4+6\:+\:...\:+\:96+98+100=2550\)
     
  3. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(4k+12)=1080\)
     
  4. \(37+42+47+52\:+\:...\:+\:102+107+112=1192\)
     
  5. \(\:\:\:\:a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)\:+\:...\:+\:(a+(n-1)d)\\ =na+\frac12(n^2-n)d\)
     
  6. \(17+21+25\:+\:...\:=17+(17+4)+(17+2\cdot4)+(17+3\cdot4) ...\)
    Bruker formelen frå oppgåve 5:
    \(\begin{align} n \cdot 17 + \frac{1}{2}({n^2} - n) \cdot 4 &> 1000\\ n \cdot 17 + 2{n^2} - 2n &> 1000\\ 2{n^2} + 15n &> 1000\\ 2{n^2} + 15n - 1000 &> 0 \end{align}\)

    \(2{n^2} + 15n - 1000 = 0\:\:\:\text{gir}\:\:\:n = - 26,4\:\text{og}\:n = 18,9\)
    \(n=19\) er det minste talet som gir ein sum som er større enn 1000
    \(2\cdot19^2+15\cdot19=1007\)
     
  7. Talfølgja for tal mindre enn 1000 som ikkje er delelige med 2 eller 3, byrjar slik:
    \(1, \:5, \:7, \:11, \:13, \:17,\: 19,\: 23, \:25, …,\: 991,\:995,\: 997\)
    Vi kan splitte følgja opp i to følgjer:
    \(1,\: 7,\: 13,\: 19, \:25,\: …,\: 997 \:\text{og} \:5, \:11,\: 17, \:23,\: …,\: 995\)

    \(\begin{array}{l} 1 + 7 + 13 + 19 + 25 \:+\: ... \:+\: 991 + 997 = \\ 1 + (1 + 6) + (1 + 2 \cdot 6) + (1 + 3 \cdot 6) \:+\: ... \:+ \:(1 + 165 \cdot 6) + (1 + 166 \cdot 6) = 83333 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} 5 + 11 + 17 + 23 \:+ \:... \:+ \:989 + 995 = \\ 5 + (5 + 6) + (5 + 2 \cdot 6) + (5 + 3 \cdot 6) \:+ \:... \:+\: (5 + 164 \cdot 6) + (5 + 165 \cdot 6) = 83000 \end{array}\)
    Summen er:
    \(83333+83000=166333\)
     
  8. Vi skal leite etter følgjande tal, det vil si at differansen d i formelen fra oppgåve 5 er lik 1.
    \(\begin{align}na + \frac{1}{2}({n^2} - n) \cdot 1 &= 32\\ \:\:\:\:\frac{1}{2}\left( {{n^2} + 2na - n} \right) &= 32{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}n + 2a - 1 \\ &= \frac{{64}}{n}{\rm{ }} \\ {\rm{ }}n\:\text{må være et partall}&\text{ siden både} \:n\: \text{og}\: a\: \text{er hele tall}\\ {n^2} + 2na - n &= 64\\ a &= \frac{{64 + n - {n^2}}}{{2n}}\end{align}\)

    Eit partal (32) kan ikkje skrivast som ein sum av to følgjande tal, det vil seie at n ikkje kan vere lik 2. Dessutan må n vere eit partal, minst lik 4:
    \(\begin{align} n&=4\quad&\Rightarrow\quad &&a&=\frac{13}2\\ n&=6\quad&\Rightarrow\quad &&a&=\frac{17}6\\ n&=8\quad&\Rightarrow\quad &&a&=\frac12\\ n&=10\quad&\Rightarrow\quad &&a&=\frac{13}{10}\end{align}\)
     

    n kan ikkje vere større enn 10. Det er umogleg å lage ein slik sum på meir enn 10 ledd som blir 32 til saman.

    Konklusjon: Det finst ingen følgje av følgjande tal som har sum 32.

Lærarrettleiing

Kvifor arbeide med denne oppgåva?

Denne oppgåva introduserer aritmetiske rekkjer, og ho er lagd opp slik at elevane skal kunne oppdage sumformelen sjølv. Ved hjelp av eit spesialtilfelle kan elevane sjå strukturen i utleiinga av formelen, og forstå korleis sumformelen for ei generell aritmetisk rekkje blir utleidd.

Viss det er nødvendig, må du forklare kva summeteiknnotasjonen betyr.

Mogleg tilnærming

Du kan vise videoen der ein ser utrekninga av summen \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i\), utan kommentarar. Eller du kan vise det same på tavla.

Skriv så problemet \(\displaystyle\sum_{i=1}^{100}i\) på tavla, og be elevane finne denne summen med same metode som Harald brukte i videoen.
Gi så elevane oppgåvene 2, 3 og 4:

2.    \(2+4+6\:+\:...\:+\:96+98+100\)
3.    \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(4k+12)\)
4.    \(37+42+47+52\:+\:...\:+\:102+107+112\)

«Kan de bruke same metode på desse summane? Eg vil straks gi dykk ei ny oppgåve, og då må de vere sikre på at de meistrar ein effektiv metode.»

Lytt etter om elevane snakkar om meir generelle trekk i metoden, medan dei løyser oppgåvene. Del løysingar i klassen, og sørg for at elevane forklarer kva dei har tenkt og gjort.

Gi fleire liknande oppgåver, og la nokre elevar løyse dei på tavla utan å ha løyst dei for seg sjølv først. Be dei forklare kva dei tenkjer, og kva dei gjer.

 Deretter skal elevane prøve å finne ein generell formel:

«Tenk dykk at det første leddet er a, og at ledda aukar med 1 for kvart ledd opp til det n'te leddet, som er lik L. Bruk same metode som de brukte med tala, for å finne ein formel for summen av rekkja.»

Gi elevane tid til å arbeide i par og dele forslaga sine.

«Kan de bruke formelen de har funne, viss de skal finne summen av dei n første ledda i følgja a, (a + d), (a + 2d), (a + 3d) osb.?»

La elevane få tid til å diskutere før klassen samlast og deler det dei har gjort.

Til slutt, «Finn ut kor mange ledd må vi ha med for at summen 17 + 21 + 25 … skal bli større enn 1000.»

Gode rettleiingsspørsmål

Kva kan du seie om summane av første + siste ledd, andre + nest siste ledd, osb. i ei aritmetisk følgje?

Korleis kan du vite at alle desse summane vil bli like store?

Mogleg utviding

Elevane kan finne summen av alle heiltal som ikkje er delelege med 2 og 3, og som er mindre enn 1000.

 

Ressursen er utviklet av NRICH

9,10