Då Kevin forenkla uttrykka nedanfor, vart han overraska over at alle gav same svar. Prøv sjølv!
\(\begin{array}{l} 3(x + 6y) + 2(x - 5y)\\ 4(2x - y) - 3(x - 4y)\\ - 2(-x - y) + 3(x + 2y) \end{array}\)
Her er fem ulike uttrykk:
\((x + y)\:\:\:\:\:(x + 2y)\:\:\:\:\:(x - 2y)\:\:\:\:\:(x + 4y)\:\:\:\:\:(2x + 3y)\)
Viss de ikkje kjem i gang, kan de sjå korleis Karl og Alise tenkte når dei skulle kombinere uttrykka \((x+2y)\) og \((2x+3y)\)
Karl multipliserte uttrykka med a og b. Han valde ulike verdiar for a for å finne ut kva verdiar for b som gav 5x. Så heldt han fram med å tilpasse verdiane til a og b til han også fekk 8y.
| a | b | \(a(x+2y)+b(2x+3y)\) |
| 5 | 0 | \(5x+10y\) |
| 4 | \(\frac1{2}\) | \(5x+9\frac1{2}y\) |
| 3 | 1 | \(5x+9y\) |
| 2 | \(\frac3{2}\) | \(5x+8\frac1{2}y\) |
| 1 | 2 | \(5x+8y\) |
Alise multipliserte uttrykka med a og b slik som Karl. Men så multipliserte ho ut parentesane:
\(\begin{array}{l} a(x + 2y) + b(2x + 3y) = 5x + 8y\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ax + 2bx = 5x}\\ {2ay + 3by = 8y} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 2b = 5}\\ {2a + 3b = 8} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow a = 1{\textrm{ og }} b = 2 \end{array}\)
For kvart av para nedanfor finst det heile tal som de kan multiplisere parentesane med for å få \(5x+8y\):
\(\begin{array}{l} (x + y){\rm{\:\:\:\:\:\:\:\:}}(x + 2y)\\ (x + y){\rm{\:\:\:\:\:\:\:\:}}(x + 4y)\\ (x + 2y){\rm{\:\:\:\:\:\:}}(2x + 3y)\\ (2x + 3y){\rm{\:\:\:\:}}(x + y)\\ (x - 2y){\rm{\:\:\:\:\:\:}}(x + 4y)\\ (x + y){\rm{\:\:\:\:\:\:\:\:}}(x - 2y)\\ (x + 2y){\rm{\:\:\:\:\:\:}}(x + 4y) \end{array}\)
Nokre av løysingane:
\(\begin{array}{l} 3(x + 2y) + 2(x + y) = 5x + 8y\\ \\ 6(x + y) - (x - 2y) = 5x + 8y\\ \\ 4(x + y) + (x + 4y) = 5x + 8y\\ \\ (x + 2y) + 2(2x + 3y) = 5x + 8y \end{array}\)
Å multiplisere ut parentesar og samle like ledd er nok ikkje den mest spennande matematiske aktiviteten. Men det er viktig at desse ferdigheitene blir innøvde så dei sit og kan gjerast rutinemessig, så slike problem ikkje tek fokuset bort frå meir spennande matematiske utfordringar.
Ein måte å unngå keisemda på ved mange øvingar med liknande oppgåver, er å leggje øvingane inn i eit større problem som skal løysast. Formålet med denne oppgåva er å gi elevane rikeleg med øving i rutinemessige operasjonar, samtidig som dei løyser eit meir spennande problem.
Desse fire uttrykka skal reknast ut og skrivast så enkelt som mogleg. Kva for eit av dei skil seg ut?
\(\begin{array}{l} 1.\:\:\:{\rm{ }}(3x + 4y) + 2(x + 2y)\\ 2.\:\:\:{\rm{ }}4(2x + 5y) - 3(x + 4y)\\ 3.\:\:\:{\rm{ }}3(2x + 3y) - (x - y)\\ 4.\:\:\:{\rm{ }}3(x + 3y) + (2x - y) \end{array}\)
Når elevane har multiplisert ut parentesane og trekt saman like ledd, vil dei sjå at uttrykk nr. 1, 2 og 4 alle blir lik \(5x+8y\), så nr. 3 skil seg ut. Dei kan komme til å få \(5x+8y\) i staden for \(5x+10y\) viss dei ikkje utfører subtraksjonen \(-y\) rett.
«Var det noko som var vanskeleg her?»
«Gjorde de nokon feil? Eller heldt de på å gjere noko feil, men oppdaga det?»
«Kva må de passe på når de skal forenkle slike uttrykk?»
«Har de nokon gode råd til elevar som arbeider med slike oppgåver?»
«I dag er utfordringa å kombinere to uttrykk slik at svaret blir \(5x+8y\). De har berreeeee lov til å bruke desse fem uttrykka: \((x + y)\:\:\:\:\:(x + 2y)\:\:\:\:\:(x - 2y)\:\:\:\:\:(x + 4y)\:\:\:\:\:(2x + 3y)\)
De kan velje kva som helst to av uttrykka og leggje dei saman eller trekkje dei frå kvarandre.»
Døme med \((x+2y)\) og \((x+4y)\):
\(\square(x+2y)\pm\square(x+4y)=5x+8y\)
Problemet er å finne ut kva tal som skal stå i boksane.
Be elevane komme med forslag, og rekn ut og forenkle uttrykket i fellesskap på tavla.
Så ber du elevane kombinere andre par av uttrykk, og prøve å få \(5x+8y\) til svar.
Det er fint å la elevane arbeide i par. Når dei har funne e løysing, kan dei kombinere to nye uttrykk.
Følg med på korleis elevane arbeider, og sjå om dei bruker effektive strategiar. Har nokon valt metodane til Karl eller Alise? Viss ingen har brukt nokre av metodane deira, kan de dele dei i klassen.
Gi elevane tid, oppmuntre dei gjerne til å prøve både Karls og Alises metodar. Til slutt kan de diskutere fordelar og ulemper med begge metodane, eventuelt andre metodar som dei kan ha brukt.
Avslutt timen med ein samtale om svara og korleis elevane har komme fram til dei.
Elevane kan kombinere fleire enn to av uttrykkene for å få \(5x+8y\).
Ressursen er utviklet av NRICH